Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7312 / 10190
↖ ↑ ↗
← S 40.145289°
W 19.335937°		 ← 1 867.62 m → S 40.145289°
W 19.313965°		 →
↑
1 867.40 m
↓
↑
1 867.40 m
↓
S 40.162083°
W 19.335937°		 ← 1 867.16 m →
3 487 175 m²		 S 40.162083°
W 19.313965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7312 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446319580078125 y=0.621978759765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446319580078125 × 214)
    floor (0.446319580078125 × 16384)
    floor (7312.5)     		tx = 7312
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.621978759765625 × 214)
    floor (0.621978759765625 × 16384)
    floor (10190.5)     		ty = 10190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7312 / 10190 ti = "14/7312/10190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7312/10190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7312 ÷ 214
    7312 ÷ 16384     		x = 0.4462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10190 ÷ 214
    10190 ÷ 16384     		y = 0.6219482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4462890625 × 2 - 1) × π
    -0.107421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33747577
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.243896484375 × 3.1415926535     		Φ = -0.766223403526978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33747577} λ = -0.33747577}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766223403526978))-π/2
    2×atan(0.464764987896383)-π/2
    2×0.435064424718223-π/2
    0.870128849436445-1.57079632675     		φ = -0.70066748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33747577} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.335937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70066748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.145289°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7312 KachelY 10190 -0.33747577 -0.70066748 -19.335937 -40.145289
    Oben rechts KachelX + 1 7313 KachelY 10190 -0.33709228 -0.70066748 -19.313965 -40.145289
    Unten links KachelX 7312 KachelY + 1 10191 -0.33747577 -0.70096059 -19.335937 -40.162083
    Unten rechts KachelX + 1 7313 KachelY + 1 10191 -0.33709228 -0.70096059 -19.313965 -40.162083
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70066748--0.70096059) × R
    0.000293109999999985 × 6371000     		dl = 1867.40380999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70066748--0.70096059) × R
    0.000293109999999985 × 6371000     		dr = 1867.40380999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33747577--0.33709228) × cos(-0.70066748) × R
    0.000383489999999986 × 0.764412014514649 × 6371000     		do = 1867.62273951582m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33747577--0.33709228) × cos(-0.70096059) × R
    0.000383489999999986 × 0.764223005438881 × 6371000     		du = 1867.16094974646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70066748)-sin(-0.70096059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764412014514649-0.764223005438881)×R²
    abs(-0.33709228--0.33747577)×0.00018900907576791×R²
    0.000383489999999986×0.00018900907576791×6371000²
    0.000383489999999986×0.00018900907576791×40589641000000     		ar = 3487174.67039287m²