Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73118 / 78446
↖ ↑ ↗
← S 33.390173°
E 20.824585°		 ← 255.01 m → S 33.390173°
E 20.827332°		 →
↑
255.03 m
↓
↑
255.03 m
↓
S 33.392466°
E 20.824585°		 ← 255.01 m →
65 035 m²		 S 33.392466°
E 20.827332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78446 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557849884033203 y=0.598499298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557849884033203 × 217)
    floor (0.557849884033203 × 131072)
    floor (73118.5)     		tx = 73118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598499298095703 × 217)
    floor (0.598499298095703 × 131072)
    floor (78446.5)     		ty = 78446
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73118 / 78446 ti = "17/73118/78446"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73118/78446.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73118 ÷ 217
    73118 ÷ 131072     		x = 0.557846069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78446 ÷ 217
    78446 ÷ 131072     		y = 0.598495483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557846069335938 × 2 - 1) × π
    0.115692138671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36345757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598495483398438 × 2 - 1) × π
    -0.196990966796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.618865374094925
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36345757} λ = 0.36345757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618865374094925))-π/2
    2×atan(0.538555149688424)-π/2
    2×0.494013936255096-π/2
    0.988027872510191-1.57079632675     		φ = -0.58276845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36345757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.824585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58276845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.390173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73118 KachelY 78446 0.36345757 -0.58276845 20.824585 -33.390173
    Oben rechts KachelX + 1 73119 KachelY 78446 0.36350551 -0.58276845 20.827332 -33.390173
    Unten links KachelX 73118 KachelY + 1 78447 0.36345757 -0.58280848 20.824585 -33.392466
    Unten rechts KachelX + 1 73119 KachelY + 1 78447 0.36350551 -0.58280848 20.827332 -33.392466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58276845--0.58280848) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dl = 255.031129999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58276845--0.58280848) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dr = 255.031129999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36345757-0.36350551) × cos(-0.58276845) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834942269530657 × 6371000     		do = 255.012860528513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36345757-0.36350551) × cos(-0.58280848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834920238850031 × 6371000     		du = 255.00613179158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58276845)-sin(-0.58280848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834942269530657-0.834920238850031)×R²
    abs(0.36350551-0.36345757)×2.20306806261172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20306806261172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20306806261172e-05×40589641000000     		ar = 65035.359975016m²