Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73114 / 76069
↖ ↑ ↗
← S 27.773481°
E 20.813599°		 ← 270.18 m → S 27.773481°
E 20.816345°		 →
↑
270.26 m
↓
↑
270.26 m
↓
S 27.775912°
E 20.813599°		 ← 270.18 m →
73 018 m²		 S 27.775912°
E 20.816345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557819366455078 y=0.580364227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557819366455078 × 217)
    floor (0.557819366455078 × 131072)
    floor (73114.5)     		tx = 73114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580364227294922 × 217)
    floor (0.580364227294922 × 131072)
    floor (76069.5)     		ty = 76069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73114 / 76069 ti = "17/73114/76069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73114/76069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73114 ÷ 217
    73114 ÷ 131072     		x = 0.557815551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76069 ÷ 217
    76069 ÷ 131072     		y = 0.580360412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557815551757812 × 2 - 1) × π
    0.115631103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36326583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580360412597656 × 2 - 1) × π
    -0.160720825195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.504919363698051
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36326583} λ = 0.36326583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.504919363698051))-π/2
    2×atan(0.603554241846962)-π/2
    2×0.54302881593031-π/2
    1.08605763186062-1.57079632675     		φ = -0.48473869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36326583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.813599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48473869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.773481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73114 KachelY 76069 0.36326583 -0.48473869 20.813599 -27.773481
    Oben rechts KachelX + 1 73115 KachelY 76069 0.36331376 -0.48473869 20.816345 -27.773481
    Unten links KachelX 73114 KachelY + 1 76070 0.36326583 -0.48478111 20.813599 -27.775912
    Unten rechts KachelX + 1 73115 KachelY + 1 76070 0.36331376 -0.48478111 20.816345 -27.775912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48473869--0.48478111) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dl = 270.25781999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48473869--0.48478111) × R
    4.24199999999875e-05 × 6371000     		dr = 270.25781999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36326583-0.36331376) × cos(-0.48473869) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.884796743809457 × 6371000     		do = 270.183329826898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36326583-0.36331376) × cos(-0.48478111) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.884776976261872 × 6371000     		du = 270.177293568439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48473869)-sin(-0.48478111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884796743809457-0.884776976261872)×R²
    abs(0.36331376-0.36326583)×1.97675475849257e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.97675475849257e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.97675475849257e-05×40589641000000     		ar = 73018.3420572824m²