Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73112 / 78440
↖ ↑ ↗
← S 33.376412°
E 20.808105°		 ← 255.05 m → S 33.376412°
E 20.810852°		 →
↑
255.03 m
↓
↑
255.03 m
↓
S 33.378706°
E 20.808105°		 ← 255.05 m →
65 046 m²		 S 33.378706°
E 20.810852°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557804107666016 y=0.598453521728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557804107666016 × 217)
    floor (0.557804107666016 × 131072)
    floor (73112.5)     		tx = 73112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598453521728516 × 217)
    floor (0.598453521728516 × 131072)
    floor (78440.5)     		ty = 78440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73112 / 78440 ti = "17/73112/78440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73112/78440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73112 ÷ 217
    73112 ÷ 131072     		x = 0.55780029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78440 ÷ 217
    78440 ÷ 131072     		y = 0.59844970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55780029296875 × 2 - 1) × π
    0.1156005859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36316995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59844970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1968994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.618577752697205
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36316995} λ = 0.36316995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618577752697205))-π/2
    2×atan(0.538710071951737)-π/2
    2×0.494134019388551-π/2
    0.988268038777102-1.57079632675     		φ = -0.58252829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36316995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.808105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58252829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.376412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73112 KachelY 78440 0.36316995 -0.58252829 20.808105 -33.376412
    Oben rechts KachelX + 1 73113 KachelY 78440 0.36321789 -0.58252829 20.810852 -33.376412
    Unten links KachelX 73112 KachelY + 1 78441 0.36316995 -0.58256832 20.808105 -33.378706
    Unten rechts KachelX + 1 73113 KachelY + 1 78441 0.36321789 -0.58256832 20.810852 -33.378706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58252829--0.58256832) × R
    4.00300000000797e-05 × 6371000     		dl = 255.031130000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58252829--0.58256832) × R
    4.00300000000797e-05 × 6371000     		dr = 255.031130000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36316995-0.36321789) × cos(-0.58252829) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835074414514281 × 6371000     		do = 255.053221007924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36316995-0.36321789) × cos(-0.58256832) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835052391860989 × 6371000     		du = 255.046494722745m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58252829)-sin(-0.58256832))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835074414514281-0.835052391860989)×R²
    abs(0.36321789-0.36316995)×2.20226532918755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20226532918755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20226532918755e-05×40589641000000     		ar = 65045.6534665906m²