Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73111 / 78439
↖ ↑ ↗
← S 33.374119°
E 20.805359°		 ← 255.06 m → S 33.374119°
E 20.808105°		 →
↑
255.03 m
↓
↑
255.03 m
↓
S 33.376412°
E 20.805359°		 ← 255.05 m →
65 047 m²		 S 33.376412°
E 20.808105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557796478271484 y=0.598445892333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557796478271484 × 217)
    floor (0.557796478271484 × 131072)
    floor (73111.5)     		tx = 73111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598445892333984 × 217)
    floor (0.598445892333984 × 131072)
    floor (78439.5)     		ty = 78439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73111 / 78439 ti = "17/73111/78439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73111/78439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73111 ÷ 217
    73111 ÷ 131072     		x = 0.557792663574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78439 ÷ 217
    78439 ÷ 131072     		y = 0.598442077636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557792663574219 × 2 - 1) × π
    0.115585327148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36312201
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598442077636719 × 2 - 1) × π
    -0.196884155273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.618529815797585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36312201} λ = 0.36312201}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618529815797585))-π/2
    2×atan(0.538735896661354)-π/2
    2×0.494154035091688-π/2
    0.988308070183377-1.57079632675     		φ = -0.58248826
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36312201} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.805359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58248826 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.374119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73111 KachelY 78439 0.36312201 -0.58248826 20.805359 -33.374119
    Oben rechts KachelX + 1 73112 KachelY 78439 0.36316995 -0.58248826 20.808105 -33.374119
    Unten links KachelX 73111 KachelY + 1 78440 0.36312201 -0.58252829 20.805359 -33.376412
    Unten rechts KachelX + 1 73112 KachelY + 1 78440 0.36316995 -0.58252829 20.808105 -33.376412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58248826--0.58252829) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dl = 255.031129999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58248826--0.58252829) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dr = 255.031129999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36312201-0.36316995) × cos(-0.58248826) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835096435829449 × 6371000     		do = 255.0599468847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36312201-0.36316995) × cos(-0.58252829) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835074414514281 × 6371000     		du = 255.053221008219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58248826)-sin(-0.58252829))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835096435829449-0.835074414514281)×R²
    abs(0.36316995-0.36312201)×2.20213151677084e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20213151677084e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20213151677084e-05×40589641000000     		ar = 65047.3688262954m²