Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73110 / 78450
↖ ↑ ↗
← S 33.399345°
E 20.802612°		 ← 254.93 m → S 33.399345°
E 20.805359°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 33.401638°
E 20.802612°		 ← 254.93 m →
64 999 m²		 S 33.401638°
E 20.805359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557788848876953 y=0.598529815673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557788848876953 × 217)
    floor (0.557788848876953 × 131072)
    floor (73110.5)     		tx = 73110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598529815673828 × 217)
    floor (0.598529815673828 × 131072)
    floor (78450.5)     		ty = 78450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73110 / 78450 ti = "17/73110/78450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73110/78450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73110 ÷ 217
    73110 ÷ 131072     		x = 0.557785034179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78450 ÷ 217
    78450 ÷ 131072     		y = 0.598526000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557785034179688 × 2 - 1) × π
    0.115570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36307408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598526000976562 × 2 - 1) × π
    -0.197052001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.619057121693405
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36307408} λ = 0.36307408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619057121693405))-π/2
    2×atan(0.538451892931755)-π/2
    2×0.493933891391615-π/2
    0.98786778278323-1.57079632675     		φ = -0.58292854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36307408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.802612°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58292854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.399345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73110 KachelY 78450 0.36307408 -0.58292854 20.802612 -33.399345
    Oben rechts KachelX + 1 73111 KachelY 78450 0.36312201 -0.58292854 20.805359 -33.399345
    Unten links KachelX 73110 KachelY + 1 78451 0.36307408 -0.58296856 20.802612 -33.401638
    Unten rechts KachelX + 1 73111 KachelY + 1 78451 0.36312201 -0.58296856 20.805359 -33.401638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58292854--0.58296856) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dl = 254.96741999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58292854--0.58296856) × R
    4.00199999999185e-05 × 6371000     		dr = 254.96741999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36307408-0.36312201) × cos(-0.58292854) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834854155295168 × 6371000     		do = 254.932759614728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36307408-0.36312201) × cos(-0.58296856) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.834832124769294 × 6371000     		du = 254.926032328626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58292854)-sin(-0.58296856))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834854155295168-0.834832124769294)×R²
    abs(0.36312201-0.36307408)×2.20305258733511e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20305258733511e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20305258733511e-05×40589641000000     		ar = 64998.690381452m²