Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7311 / 5495
↖ ↑ ↗
← N 75.869328°
W 99.678955°		 ← 298.24 m → N 75.869328°
W 99.667969°		 →
↑
298.23 m
↓
↑
298.23 m
↓
N 75.866646°
W 99.678955°		 ← 298.30 m →
88 953 m²		 N 75.866646°
W 99.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223129272460938 y=0.167709350585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223129272460938 × 215)
    floor (0.223129272460938 × 32768)
    floor (7311.5)     		tx = 7311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167709350585938 × 215)
    floor (0.167709350585938 × 32768)
    floor (5495.5)     		ty = 5495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7311 / 5495 ti = "15/7311/5495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7311/5495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7311 ÷ 215
    7311 ÷ 32768     		x = 0.223114013671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5495 ÷ 215
    5495 ÷ 32768     		y = 0.167694091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.223114013671875 × 2 - 1) × π
    -0.55377197265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.73972596
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.167694091796875 × 2 - 1) × π
    0.66461181640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08793959985117
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73972596} λ = -1.73972596}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08793959985117))-π/2
    2×atan(8.06827415335503)-π/2
    2×1.44748295076635-π/2
    2.89496590153269-1.57079632675     		φ = 1.32416957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73972596} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.678955°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32416957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.869328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7311 KachelY 5495 -1.73972596 1.32416957 -99.678955 75.869328
    Oben rechts KachelX + 1 7312 KachelY 5495 -1.73953421 1.32416957 -99.667969 75.869328
    Unten links KachelX 7311 KachelY + 1 5496 -1.73972596 1.32412276 -99.678955 75.866646
    Unten rechts KachelX + 1 7312 KachelY + 1 5496 -1.73953421 1.32412276 -99.667969 75.866646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32416957-1.32412276) × R
    4.68099999999527e-05 × 6371000     		dl = 298.226509999699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32416957-1.32412276) × R
    4.68099999999527e-05 × 6371000     		dr = 298.226509999699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73972596--1.73953421) × cos(1.32416957) × R
    0.000191749999999935 × 0.24413418063499 × 6371000     		do = 298.243897330193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73972596--1.73953421) × cos(1.32412276) × R
    0.000191749999999935 × 0.244179573965309 × 6371000     		du = 298.299351604198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32416957)-sin(1.32412276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.24413418063499-0.244179573965309)×R²
    abs(-1.73953421--1.73972596)×4.53933303183052e-05×R²
    0.000191749999999935×4.53933303183052e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.53933303183052e-05×40589641000000     		ar = 88952.5056133888m²