Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7311 / 4690
↖ ↑ ↗
← N 60.737686°
W 19.357910°		 ← 1 194.30 m → N 60.737686°
W 19.335937°		 →
↑
1 194.50 m
↓
↑
1 194.50 m
↓
N 60.726944°
W 19.357910°		 ← 1 194.70 m →
1 426 824 m²		 N 60.726944°
W 19.335937°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7311 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446258544921875 y=0.286285400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446258544921875 × 214)
    floor (0.446258544921875 × 16384)
    floor (7311.5)     		tx = 7311
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.286285400390625 × 214)
    floor (0.286285400390625 × 16384)
    floor (4690.5)     		ty = 4690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7311 / 4690 ti = "14/7311/4690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7311/4690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7311 ÷ 214
    7311 ÷ 16384     		x = 0.44622802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4690 ÷ 214
    4690 ÷ 16384     		y = 0.2862548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.1075439453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.33785927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2862548828125 × 2 - 1) × π
    0.427490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.34300017975549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33785927} λ = -0.33785927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.34300017975549))-π/2
    2×atan(3.83051852733349)-π/2
    2×1.31543446231512-π/2
    2.63086892463024-1.57079632675     		φ = 1.06007260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33785927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.357910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.06007260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.737686°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7311 KachelY 4690 -0.33785927 1.06007260 -19.357910 60.737686
    Oben rechts KachelX + 1 7312 KachelY 4690 -0.33747577 1.06007260 -19.335937 60.737686
    Unten links KachelX 7311 KachelY + 1 4691 -0.33785927 1.05988511 -19.357910 60.726944
    Unten rechts KachelX + 1 7312 KachelY + 1 4691 -0.33747577 1.05988511 -19.335937 60.726944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.06007260-1.05988511) × R
    0.000187490000000068 × 6371000     		dl = 1194.49879000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.06007260-1.05988511) × R
    0.000187490000000068 × 6371000     		dr = 1194.49879000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33785927--0.33747577) × cos(1.06007260) × R
    0.000383499999999981 × 0.488808747564201 × 6371000     		do = 1194.29590353548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33785927--0.33747577) × cos(1.05988511) × R
    0.000383499999999981 × 0.488972303555188 × 6371000     		du = 1194.69551637181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.06007260)-sin(1.05988511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.488808747564201-0.488972303555188)×R²
    abs(-0.33747577--0.33785927)×0.000163555990987108×R²
    0.000383499999999981×0.000163555990987108×6371000²
    0.000383499999999981×0.000163555990987108×40589641000000     		ar = 1426823.68438017m²