Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73107 / 76082
↖ ↑ ↗
← S 27.805069°
E 20.794373°		 ← 270.10 m → S 27.805069°
E 20.797119°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
S 27.807498°
E 20.794373°		 ← 270.10 m →
72 963 m²		 S 27.807498°
E 20.797119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76082 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557765960693359 y=0.580463409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557765960693359 × 217)
    floor (0.557765960693359 × 131072)
    floor (73107.5)     		tx = 73107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580463409423828 × 217)
    floor (0.580463409423828 × 131072)
    floor (76082.5)     		ty = 76082
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73107 / 76082 ti = "17/73107/76082"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73107/76082.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73107 ÷ 217
    73107 ÷ 131072     		x = 0.557762145996094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76082 ÷ 217
    76082 ÷ 131072     		y = 0.580459594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557762145996094 × 2 - 1) × π
    0.115524291992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.36293027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580459594726562 × 2 - 1) × π
    -0.160919189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.505542543393112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36293027} λ = 0.36293027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505542543393112))-π/2
    2×atan(0.603178236270264)-π/2
    2×0.542753162287619-π/2
    1.08550632457524-1.57079632675     		φ = -0.48529000
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36293027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.794373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48529000 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.805069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73107 KachelY 76082 0.36293027 -0.48529000 20.794373 -27.805069
    Oben rechts KachelX + 1 73108 KachelY 76082 0.36297820 -0.48529000 20.797119 -27.805069
    Unten links KachelX 73107 KachelY + 1 76083 0.36293027 -0.48533240 20.794373 -27.807498
    Unten rechts KachelX + 1 73108 KachelY + 1 76083 0.36297820 -0.48533240 20.797119 -27.807498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48529000--0.48533240) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dl = 270.130399999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48529000--0.48533240) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dr = 270.130399999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36293027-0.36297820) × cos(-0.48529000) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.884539711485602 × 6371000     		do = 270.10484191471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36293027-0.36297820) × cos(-0.48533240) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.88451993257894 × 6371000     		du = 270.098802187621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48529000)-sin(-0.48533240))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884539711485602-0.88451993257894)×R²
    abs(0.36297820-0.36293027)×1.9778906661605e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.9778906661605e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.9778906661605e-05×40589641000000     		ar = 72962.7132423516m²