Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73106 / 78445
↖ ↑ ↗
← S 33.387880°
E 20.791626°		 ← 255.02 m → S 33.387880°
E 20.794373°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 33.390173°
E 20.791626°		 ← 255.01 m →
65 021 m²		 S 33.390173°
E 20.794373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557758331298828 y=0.598491668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557758331298828 × 217)
    floor (0.557758331298828 × 131072)
    floor (73106.5)     		tx = 73106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598491668701172 × 217)
    floor (0.598491668701172 × 131072)
    floor (78445.5)     		ty = 78445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73106 / 78445 ti = "17/73106/78445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73106/78445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73106 ÷ 217
    73106 ÷ 131072     		x = 0.557754516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78445 ÷ 217
    78445 ÷ 131072     		y = 0.598487854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557754516601562 × 2 - 1) × π
    0.115509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36288233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598487854003906 × 2 - 1) × π
    -0.196975708007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.618817437195305
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36288233} λ = 0.36288233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618817437195305))-π/2
    2×atan(0.538580966971369)-π/2
    2×0.494033948790894-π/2
    0.988067897581788-1.57079632675     		φ = -0.58272843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36288233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.791626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58272843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.387880°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73106 KachelY 78445 0.36288233 -0.58272843 20.791626 -33.387880
    Oben rechts KachelX + 1 73107 KachelY 78445 0.36293027 -0.58272843 20.794373 -33.387880
    Unten links KachelX 73106 KachelY + 1 78446 0.36288233 -0.58276845 20.791626 -33.390173
    Unten rechts KachelX + 1 73107 KachelY + 1 78446 0.36293027 -0.58276845 20.794373 -33.390173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58272843--0.58276845) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dl = 254.967420000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58272843--0.58276845) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dr = 254.967420000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36288233-0.36293027) × cos(-0.58272843) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.834964293370329 × 6371000     		do = 255.019587176338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36288233-0.36293027) × cos(-0.58276845) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.834942269530657 × 6371000     		du = 255.012860528808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58272843)-sin(-0.58276845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834964293370329-0.834942269530657)×R²
    abs(0.36293027-0.36288233)×2.20238396727579e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20238396727579e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20238396727579e-05×40589641000000     		ar = 65020.8286625899m²