Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73105 / 78452
↖ ↑ ↗
← S 33.403931°
E 20.788879°		 ← 254.97 m → S 33.403931°
E 20.791626°		 →
↑
254.97 m
↓
↑
254.97 m
↓
S 33.406224°
E 20.788879°		 ← 254.97 m →
65 009 m²		 S 33.406224°
E 20.791626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557750701904297 y=0.598545074462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557750701904297 × 217)
    floor (0.557750701904297 × 131072)
    floor (73105.5)     		tx = 73105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598545074462891 × 217)
    floor (0.598545074462891 × 131072)
    floor (78452.5)     		ty = 78452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73105 / 78452 ti = "17/73105/78452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73105/78452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73105 ÷ 217
    73105 ÷ 131072     		x = 0.557746887207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78452 ÷ 217
    78452 ÷ 131072     		y = 0.598541259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557746887207031 × 2 - 1) × π
    0.115493774414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.36283439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598541259765625 × 2 - 1) × π
    -0.19708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.619152995492645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36283439} λ = 0.36283439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.619152995492645))-π/2
    2×atan(0.53840027197766)-π/2
    2×0.493893872127957-π/2
    0.987787744255914-1.57079632675     		φ = -0.58300858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36283439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.788879°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58300858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.403931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73105 KachelY 78452 0.36283439 -0.58300858 20.788879 -33.403931
    Oben rechts KachelX + 1 73106 KachelY 78452 0.36288233 -0.58300858 20.791626 -33.403931
    Unten links KachelX 73105 KachelY + 1 78453 0.36283439 -0.58304860 20.788879 -33.406224
    Unten rechts KachelX + 1 73106 KachelY + 1 78453 0.36288233 -0.58304860 20.791626 -33.406224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58300858--0.58304860) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dl = 254.967420000188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58300858--0.58304860) × R
    4.00200000000295e-05 × 6371000     		dr = 254.967420000188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36283439-0.36288233) × cos(-0.58300858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834810092906354 × 6371000     		do = 254.972490385225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36283439-0.36288233) × cos(-0.58304860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83478805970638 × 6371000     		du = 254.965760878818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58300858)-sin(-0.58304860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.834810092906354-0.83478805970638)×R²
    abs(0.36288233-0.36283439)×2.20331999730705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20331999730705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20331999730705e-05×40589641000000     		ar = 65008.820150701m²