Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73102 / 78362
↖ ↑ ↗
← S 33.197328°
E 20.780640°		 ← 255.58 m → S 33.197328°
E 20.783386°		 →
↑
255.54 m
↓
↑
255.54 m
↓
S 33.199626°
E 20.780640°		 ← 255.57 m →
65 310 m²		 S 33.199626°
E 20.783386°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557727813720703 y=0.597858428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557727813720703 × 217)
    floor (0.557727813720703 × 131072)
    floor (73102.5)     		tx = 73102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597858428955078 × 217)
    floor (0.597858428955078 × 131072)
    floor (78362.5)     		ty = 78362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73102 / 78362 ti = "17/73102/78362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73102/78362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73102 ÷ 217
    73102 ÷ 131072     		x = 0.557723999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78362 ÷ 217
    78362 ÷ 131072     		y = 0.597854614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557723999023438 × 2 - 1) × π
    0.115447998046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36269058
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597854614257812 × 2 - 1) × π
    -0.195709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.61483867452684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36269058} λ = 0.36269058}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61483867452684))-π/2
    2×atan(0.540728121493275)-π/2
    2×0.495696827908451-π/2
    0.991393655816902-1.57079632675     		φ = -0.57940267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36269058} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.780640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57940267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.197328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73102 KachelY 78362 0.36269058 -0.57940267 20.780640 -33.197328
    Oben rechts KachelX + 1 73103 KachelY 78362 0.36273852 -0.57940267 20.783386 -33.197328
    Unten links KachelX 73102 KachelY + 1 78363 0.36269058 -0.57944278 20.780640 -33.199626
    Unten rechts KachelX + 1 73103 KachelY + 1 78363 0.36273852 -0.57944278 20.783386 -33.199626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57940267--0.57944278) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dl = 255.54081000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57940267--0.57944278) × R
    4.01100000000376e-05 × 6371000     		dr = 255.54081000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36269058-0.36273852) × cos(-0.57940267) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836789851807643 × 6371000     		do = 255.577159712968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36269058-0.36273852) × cos(-0.57944278) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836767889939076 × 6371000     		du = 255.570451993009m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57940267)-sin(-0.57944278))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836789851807643-0.836767889939076)×R²
    abs(0.36273852-0.36269058)×2.19618685670664e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19618685670664e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19618685670664e-05×40589641000000     		ar = 65309.5373713185m²