Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7310 / 4492
↖ ↑ ↗
← N 62.794935°
W 19.379883°		 ← 1 116.98 m → N 62.794935°
W 19.357910°		 →
↑
1 117.22 m
↓
↑
1 117.22 m
↓
N 62.784888°
W 19.379883°		 ← 1 117.36 m →
1 248 124 m²		 N 62.784888°
W 19.357910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7310 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446197509765625 y=0.274200439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446197509765625 × 214)
    floor (0.446197509765625 × 16384)
    floor (7310.5)     		tx = 7310
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274200439453125 × 214)
    floor (0.274200439453125 × 16384)
    floor (4492.5)     		ty = 4492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7310 / 4492 ti = "14/7310/4492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7310/4492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7310 ÷ 214
    7310 ÷ 16384     		x = 0.4461669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4492 ÷ 214
    4492 ÷ 16384     		y = 0.274169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4461669921875 × 2 - 1) × π
    -0.107666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33824276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274169921875 × 2 - 1) × π
    0.45166015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41893222875366
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33824276} λ = -0.33824276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41893222875366))-π/2
    2×atan(4.13270529960226)-π/2
    2×1.33338734699403-π/2
    2.66677469398806-1.57079632675     		φ = 1.09597837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33824276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.379883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09597837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.794935°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7310 KachelY 4492 -0.33824276 1.09597837 -19.379883 62.794935
    Oben rechts KachelX + 1 7311 KachelY 4492 -0.33785927 1.09597837 -19.357910 62.794935
    Unten links KachelX 7310 KachelY + 1 4493 -0.33824276 1.09580301 -19.379883 62.784888
    Unten rechts KachelX + 1 7311 KachelY + 1 4493 -0.33785927 1.09580301 -19.357910 62.784888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09597837-1.09580301) × R
    0.000175360000000069 × 6371000     		dl = 1117.21856000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09597837-1.09580301) × R
    0.000175360000000069 × 6371000     		dr = 1117.21856000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33824276--0.33785927) × cos(1.09597837) × R
    0.000383489999999986 × 0.457176549904494 × 6371000     		do = 1116.98050836779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33824276--0.33785927) × cos(1.09580301) × R
    0.000383489999999986 × 0.457332503843086 × 6371000     		du = 1117.36153733712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09597837)-sin(1.09580301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.457176549904494-0.457332503843086)×R²
    abs(-0.33785927--0.33824276)×0.00015595393859219×R²
    0.000383489999999986×0.00015595393859219×6371000²
    0.000383489999999986×0.00015595393859219×40589641000000     		ar = 1248124.20462387m²