Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 731 / 874
↖ ↑ ↗
← N 25.482951°
W 51.503906°		 ← 17.644 km → N 25.482951°
W 51.328125°		 →
↑
17.656 km
↓
↑
17.656 km
↓
N 25.324167°
W 51.503906°		 ← 17.668 km →
311.735 km²		 N 25.324167°
W 51.328125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.357177734375 y=0.427001953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.357177734375 × 211)
    floor (0.357177734375 × 2048)
    floor (731.5)     		tx = 731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.427001953125 × 211)
    floor (0.427001953125 × 2048)
    floor (874.5)     		ty = 874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 731 / 874 ti = "11/731/874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/731/874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 731 ÷ 211
    731 ÷ 2048     		x = 0.35693359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 874 ÷ 211
    874 ÷ 2048     		y = 0.4267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35693359375 × 2 - 1) × π
    -0.2861328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.89891274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4267578125 × 2 - 1) × π
    0.146484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.460194236352539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.89891274} λ = -0.89891274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.460194236352539))-π/2
    2×atan(1.5843816996312)-π/2
    2×1.00777886395897-π/2
    2.01555772791793-1.57079632675     		φ = 0.44476140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.89891274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -51.503906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.44476140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.482951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 731 KachelY 874 -0.89891274 0.44476140 -51.503906 25.482951
    Oben rechts KachelX + 1 732 KachelY 874 -0.89584478 0.44476140 -51.328125 25.482951
    Unten links KachelX 731 KachelY + 1 875 -0.89891274 0.44199009 -51.503906 25.324167
    Unten rechts KachelX + 1 732 KachelY + 1 875 -0.89584478 0.44199009 -51.328125 25.324167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.44476140-0.44199009) × R
    0.00277130999999997 × 6371000     		dl = 17656.0160099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.44476140-0.44199009) × R
    0.00277130999999997 × 6371000     		dr = 17656.0160099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.89891274--0.89584478) × cos(0.44476140) × R
    0.00306795999999998 × 0.902713346952603 × 6371000     		do = 17644.4108507092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.89891274--0.89584478) × cos(0.44199009) × R
    0.00306795999999998 × 0.903902214294465 × 6371000     		du = 17667.6484198641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.44476140)-sin(0.44199009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.902713346952603-0.903902214294465)×R²
    abs(-0.89584478--0.89891274)×0.00118886734186185×R²
    0.00306795999999998×0.00118886734186185×6371000²
    0.00306795999999998×0.00118886734186185×40589641000000     		ar = 311735341.428433m²