Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73099 / 78444
↖ ↑ ↗
← S 33.385586°
E 20.772400°		 ← 255.03 m → S 33.385586°
E 20.775147°		 →
↑
255.03 m
↓
↑
255.03 m
↓
S 33.387880°
E 20.772400°		 ← 255.02 m →
65 039 m²		 S 33.387880°
E 20.775147°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557704925537109 y=0.598484039306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557704925537109 × 217)
    floor (0.557704925537109 × 131072)
    floor (73099.5)     		tx = 73099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598484039306641 × 217)
    floor (0.598484039306641 × 131072)
    floor (78444.5)     		ty = 78444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73099 / 78444 ti = "17/73099/78444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73099/78444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73099 ÷ 217
    73099 ÷ 131072     		x = 0.557701110839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78444 ÷ 217
    78444 ÷ 131072     		y = 0.598480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557701110839844 × 2 - 1) × π
    0.115402221679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.36254677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.19696044921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.618769500295685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36254677} λ = 0.36254677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618769500295685))-π/2
    2×atan(0.538606785491945)-π/2
    2×0.494053961854628-π/2
    0.988107923709256-1.57079632675     		φ = -0.58268840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36254677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.772400°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58268840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.385586°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73099 KachelY 78444 0.36254677 -0.58268840 20.772400 -33.385586
    Oben rechts KachelX + 1 73100 KachelY 78444 0.36259471 -0.58268840 20.775147 -33.385586
    Unten links KachelX 73099 KachelY + 1 78445 0.36254677 -0.58272843 20.772400 -33.387880
    Unten rechts KachelX + 1 73100 KachelY + 1 78445 0.36259471 -0.58272843 20.775147 -33.387880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58268840--0.58272843) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dl = 255.031129999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58268840--0.58272843) × R
    4.00299999999687e-05 × 6371000     		dr = 255.031129999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36254677-0.36259471) × cos(-0.58268840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.83498632137543 × 6371000     		do = 255.026315095801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36254677-0.36259471) × cos(-0.58272843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.834964293370329 × 6371000     		du = 255.019587176043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58268840)-sin(-0.58272843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83498632137543-0.834964293370329)×R²
    abs(0.36259471-0.36254677)×2.20280051006494e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20280051006494e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20280051006494e-05×40589641000000     		ar = 65038.7914128062m²