Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73098 / 78423
↖ ↑ ↗
← S 33.337412°
E 20.769653°		 ← 255.17 m → S 33.337412°
E 20.772400°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 33.339707°
E 20.769653°		 ← 255.16 m →
65 107 m²		 S 33.339707°
E 20.772400°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557697296142578 y=0.598323822021484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557697296142578 × 217)
    floor (0.557697296142578 × 131072)
    floor (73098.5)     		tx = 73098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598323822021484 × 217)
    floor (0.598323822021484 × 131072)
    floor (78423.5)     		ty = 78423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73098 / 78423 ti = "17/73098/78423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73098/78423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73098 ÷ 217
    73098 ÷ 131072     		x = 0.557693481445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78423 ÷ 217
    78423 ÷ 131072     		y = 0.598320007324219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557693481445312 × 2 - 1) × π
    0.115386962890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36249883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598320007324219 × 2 - 1) × π
    -0.196640014648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.617762825403664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36249883} λ = 0.36249883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617762825403664))-π/2
    2×atan(0.539149260421706)-π/2
    2×0.494474358113896-π/2
    0.988948716227793-1.57079632675     		φ = -0.58184761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36249883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.769653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58184761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.337412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73098 KachelY 78423 0.36249883 -0.58184761 20.769653 -33.337412
    Oben rechts KachelX + 1 73099 KachelY 78423 0.36254677 -0.58184761 20.772400 -33.337412
    Unten links KachelX 73098 KachelY + 1 78424 0.36249883 -0.58188766 20.769653 -33.339707
    Unten rechts KachelX + 1 73099 KachelY + 1 78424 0.36254677 -0.58188766 20.772400 -33.339707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58184761--0.58188766) × R
    4.00500000000692e-05 × 6371000     		dl = 255.158550000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58184761--0.58188766) × R
    4.00500000000692e-05 × 6371000     		dr = 255.158550000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36249883-0.36254677) × cos(-0.58184761) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835448688285133 × 6371000     		do = 255.167533851644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36249883-0.36254677) × cos(-0.58188766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835426677398394 × 6371000     		du = 255.160811160274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58184761)-sin(-0.58188766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835448688285133-0.835426677398394)×R²
    abs(0.36254677-0.36249883)×2.20108867393654e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20108867393654e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20108867393654e-05×40589641000000     		ar = 65107.3202774907m²