Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73097 / 78415
↖ ↑ ↗
← S 33.319054°
E 20.766907°		 ← 255.17 m → S 33.319054°
E 20.769653°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 33.321348°
E 20.766907°		 ← 255.16 m →
65 107 m²		 S 33.321348°
E 20.769653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557689666748047 y=0.598262786865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557689666748047 × 217)
    floor (0.557689666748047 × 131072)
    floor (73097.5)     		tx = 73097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598262786865234 × 217)
    floor (0.598262786865234 × 131072)
    floor (78415.5)     		ty = 78415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73097 / 78415 ti = "17/73097/78415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73097/78415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73097 ÷ 217
    73097 ÷ 131072     		x = 0.557685852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78415 ÷ 217
    78415 ÷ 131072     		y = 0.598258972167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557685852050781 × 2 - 1) × π
    0.115371704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36245090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598258972167969 × 2 - 1) × π
    -0.196517944335938 × 3.1415926535     		Φ = -0.617379330206703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36245090} λ = 0.36245090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617379330206703))-π/2
    2×atan(0.539356061224545)-π/2
    2×0.494634570273041-π/2
    0.989269140546082-1.57079632675     		φ = -0.58152719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36245090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.766907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58152719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.319054°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73097 KachelY 78415 0.36245090 -0.58152719 20.766907 -33.319054
    Oben rechts KachelX + 1 73098 KachelY 78415 0.36249883 -0.58152719 20.769653 -33.319054
    Unten links KachelX 73097 KachelY + 1 78416 0.36245090 -0.58156724 20.766907 -33.321348
    Unten rechts KachelX + 1 73098 KachelY + 1 78416 0.36249883 -0.58156724 20.769653 -33.321348
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58152719--0.58156724) × R
    4.00500000000692e-05 × 6371000     		dl = 255.158550000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58152719--0.58156724) × R
    4.00500000000692e-05 × 6371000     		dr = 255.158550000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36245090-0.36249883) × cos(-0.58152719) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835624738119873 × 6371000     		do = 255.168066350363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36245090-0.36249883) × cos(-0.58156724) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.835602737955285 × 6371000     		du = 255.161348335445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58152719)-sin(-0.58156724))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835624738119873-0.835602737955285)×R²
    abs(0.36249883-0.36245090)×2.20001645873102e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.20001645873102e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.20001645873102e-05×40589641000000     		ar = 65107.456745632m²