Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73097 / 76153
↖ ↑ ↗
← S 27.977424°
E 20.766907°		 ← 269.68 m → S 27.977424°
E 20.769653°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 27.979849°
E 20.766907°		 ← 269.67 m →
72 726 m²		 S 27.979849°
E 20.769653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76153 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557689666748047 y=0.581005096435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557689666748047 × 217)
    floor (0.557689666748047 × 131072)
    floor (73097.5)     		tx = 73097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581005096435547 × 217)
    floor (0.581005096435547 × 131072)
    floor (76153.5)     		ty = 76153
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73097 / 76153 ti = "17/73097/76153"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73097/76153.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73097 ÷ 217
    73097 ÷ 131072     		x = 0.557685852050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76153 ÷ 217
    76153 ÷ 131072     		y = 0.581001281738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557685852050781 × 2 - 1) × π
    0.115371704101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36245090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581001281738281 × 2 - 1) × π
    -0.162002563476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.508946063266136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36245090} λ = 0.36245090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.508946063266136))-π/2
    2×atan(0.601128796788528)-π/2
    2×0.541249084586989-π/2
    1.08249816917398-1.57079632675     		φ = -0.48829816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36245090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.766907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48829816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.977424°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73097 KachelY 76153 0.36245090 -0.48829816 20.766907 -27.977424
    Oben rechts KachelX + 1 73098 KachelY 76153 0.36249883 -0.48829816 20.769653 -27.977424
    Unten links KachelX 73097 KachelY + 1 76154 0.36245090 -0.48834049 20.766907 -27.979849
    Unten rechts KachelX + 1 73098 KachelY + 1 76154 0.36249883 -0.48834049 20.769653 -27.979849
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48829816--0.48834049) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dl = 269.684430000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48829816--0.48834049) × R
    4.23300000000348e-05 × 6371000     		dr = 269.684430000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36245090-0.36249883) × cos(-0.48829816) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883132510452927 × 6371000     		do = 269.675136150755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36245090-0.36249883) × cos(-0.48834049) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.883112651658971 × 6371000     		du = 269.669072029119m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48829816)-sin(-0.48834049))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.883132510452927-0.883112651658971)×R²
    abs(0.36249883-0.36245090)×1.98587939559403e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.98587939559403e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.98587939559403e-05×40589641000000     		ar = 72726.3676893146m²