Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73096 / 78424
↖ ↑ ↗
← S 33.339707°
E 20.764160°		 ← 255.16 m → S 33.339707°
E 20.766907°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 33.342002°
E 20.764160°		 ← 255.15 m →
65 106 m²		 S 33.342002°
E 20.766907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557682037353516 y=0.598331451416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557682037353516 × 217)
    floor (0.557682037353516 × 131072)
    floor (73096.5)     		tx = 73096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598331451416016 × 217)
    floor (0.598331451416016 × 131072)
    floor (78424.5)     		ty = 78424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73096 / 78424 ti = "17/73096/78424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73096/78424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73096 ÷ 217
    73096 ÷ 131072     		x = 0.55767822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78424 ÷ 217
    78424 ÷ 131072     		y = 0.59832763671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55767822265625 × 2 - 1) × π
    0.1153564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36240296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59832763671875 × 2 - 1) × π
    -0.1966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.617810762303284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36240296} λ = 0.36240296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617810762303284))-π/2
    2×atan(0.539123415897187)-π/2
    2×0.494454333967721-π/2
    0.988908667935441-1.57079632675     		φ = -0.58188766
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36240296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.764160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58188766 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.339707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73096 KachelY 78424 0.36240296 -0.58188766 20.764160 -33.339707
    Oben rechts KachelX + 1 73097 KachelY 78424 0.36245090 -0.58188766 20.766907 -33.339707
    Unten links KachelX 73096 KachelY + 1 78425 0.36240296 -0.58192771 20.764160 -33.342002
    Unten rechts KachelX + 1 73097 KachelY + 1 78425 0.36245090 -0.58192771 20.766907 -33.342002
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58188766--0.58192771) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dl = 255.158549999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58188766--0.58192771) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dr = 255.158549999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36240296-0.36245090) × cos(-0.58188766) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835426677398394 × 6371000     		do = 255.160811160274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36240296-0.36245090) × cos(-0.58192771) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.835404665171628 × 6371000     		du = 255.154088059625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58188766)-sin(-0.58192771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835426677398394-0.835404665171628)×R²
    abs(0.36245090-0.36240296)×2.20122267656775e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20122267656775e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20122267656775e-05×40589641000000     		ar = 65105.6048727101m²