Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73095 / 78431
↖ ↑ ↗
← S 33.355768°
E 20.761413°		 ← 255.11 m → S 33.355768°
E 20.764160°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
S 33.358062°
E 20.761413°		 ← 255.11 m →
65 077 m²		 S 33.358062°
E 20.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557674407958984 y=0.598384857177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557674407958984 × 217)
    floor (0.557674407958984 × 131072)
    floor (73095.5)     		tx = 73095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598384857177734 × 217)
    floor (0.598384857177734 × 131072)
    floor (78431.5)     		ty = 78431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73095 / 78431 ti = "17/73095/78431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73095/78431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73095 ÷ 217
    73095 ÷ 131072     		x = 0.557670593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78431 ÷ 217
    78431 ÷ 131072     		y = 0.598381042480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557670593261719 × 2 - 1) × π
    0.115341186523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36235502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598381042480469 × 2 - 1) × π
    -0.196762084960938 × 3.1415926535     		Φ = -0.618146320600624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36235502} λ = 0.36235502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.618146320600624))-π/2
    2×atan(0.538942538910776)-π/2
    2×0.494314179717005-π/2
    0.988628359434011-1.57079632675     		φ = -0.58216797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36235502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.761413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58216797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.355768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73095 KachelY 78431 0.36235502 -0.58216797 20.761413 -33.355768
    Oben rechts KachelX + 1 73096 KachelY 78431 0.36240296 -0.58216797 20.764160 -33.355768
    Unten links KachelX 73095 KachelY + 1 78432 0.36235502 -0.58220801 20.761413 -33.358062
    Unten rechts KachelX + 1 73096 KachelY + 1 78432 0.36240296 -0.58220801 20.764160 -33.358062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58216797--0.58220801) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58216797--0.58220801) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36235502-0.36240296) × cos(-0.58216797) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835272585665898 × 6371000     		do = 255.113747578553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36235502-0.36240296) × cos(-0.58220801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835250569559969 × 6371000     		du = 255.107023293108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58216797)-sin(-0.58220801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835272585665898-0.835250569559969)×R²
    abs(0.36240296-0.36235502)×2.20161059290014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20161059290014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20161059290014e-05×40589641000000     		ar = 65077.3429639628m²