Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73095 / 78418
↖ ↑ ↗
← S 33.325938°
E 20.761413°		 ← 255.20 m → S 33.325938°
E 20.764160°		 →
↑
255.22 m
↓
↑
255.22 m
↓
S 33.328234°
E 20.761413°		 ← 255.19 m →
65 132 m²		 S 33.328234°
E 20.764160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557674407958984 y=0.598285675048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557674407958984 × 217)
    floor (0.557674407958984 × 131072)
    floor (73095.5)     		tx = 73095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598285675048828 × 217)
    floor (0.598285675048828 × 131072)
    floor (78418.5)     		ty = 78418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73095 / 78418 ti = "17/73095/78418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73095/78418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73095 ÷ 217
    73095 ÷ 131072     		x = 0.557670593261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78418 ÷ 217
    78418 ÷ 131072     		y = 0.598281860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557670593261719 × 2 - 1) × π
    0.115341186523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.36235502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598281860351562 × 2 - 1) × π
    -0.196563720703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.617523140905563
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36235502} λ = 0.36235502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617523140905563))-π/2
    2×atan(0.53927850162953)-π/2
    2×0.49457448675744-π/2
    0.98914897351488-1.57079632675     		φ = -0.58164735
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36235502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.761413°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58164735 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.325938°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73095 KachelY 78418 0.36235502 -0.58164735 20.761413 -33.325938
    Oben rechts KachelX + 1 73096 KachelY 78418 0.36240296 -0.58164735 20.764160 -33.325938
    Unten links KachelX 73095 KachelY + 1 78419 0.36235502 -0.58168741 20.761413 -33.328234
    Unten rechts KachelX + 1 73096 KachelY + 1 78419 0.36240296 -0.58168741 20.764160 -33.328234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58164735--0.58168741) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dl = 255.222260000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58164735--0.58168741) × R
    4.00600000000084e-05 × 6371000     		dr = 255.222260000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36235502-0.36240296) × cos(-0.58164735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835558728111208 × 6371000     		do = 255.201142846657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36235502-0.36240296) × cos(-0.58168741) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835536718431119 × 6371000     		du = 255.194420523829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58164735)-sin(-0.58168741))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835558728111208-0.835536718431119)×R²
    abs(0.36240296-0.36235502)×2.20096800888081e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20096800888081e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20096800888081e-05×40589641000000     		ar = 65132.1545973869m²