Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73094 / 78425
↖ ↑ ↗
← S 33.342002°
E 20.758667°		 ← 255.10 m → S 33.342002°
E 20.761413°		 →
↑
255.09 m
↓
↑
255.09 m
↓
S 33.344296°
E 20.758667°		 ← 255.09 m →
65 074 m²		 S 33.344296°
E 20.761413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557666778564453 y=0.598339080810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557666778564453 × 217)
    floor (0.557666778564453 × 131072)
    floor (73094.5)     		tx = 73094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598339080810547 × 217)
    floor (0.598339080810547 × 131072)
    floor (78425.5)     		ty = 78425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73094 / 78425 ti = "17/73094/78425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73094/78425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73094 ÷ 217
    73094 ÷ 131072     		x = 0.557662963867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78425 ÷ 217
    78425 ÷ 131072     		y = 0.598335266113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557662963867188 × 2 - 1) × π
    0.115325927734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36230709
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598335266113281 × 2 - 1) × π
    -0.196670532226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.617858699202904
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36230709} λ = 0.36230709}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617858699202904))-π/2
    2×atan(0.539097572611545)-π/2
    2×0.494434310349098-π/2
    0.988868620698196-1.57079632675     		φ = -0.58192771
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36230709} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.758667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58192771 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.342002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73094 KachelY 78425 0.36230709 -0.58192771 20.758667 -33.342002
    Oben rechts KachelX + 1 73095 KachelY 78425 0.36235502 -0.58192771 20.761413 -33.342002
    Unten links KachelX 73094 KachelY + 1 78426 0.36230709 -0.58196775 20.758667 -33.344296
    Unten rechts KachelX + 1 73095 KachelY + 1 78426 0.36235502 -0.58196775 20.761413 -33.344296
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58192771--0.58196775) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dl = 255.094840000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58192771--0.58196775) × R
    4.00400000000189e-05 × 6371000     		dr = 255.094840000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36230709-0.36235502) × cos(-0.58192771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.835404665171628 × 6371000     		do = 255.100864428435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36230709-0.36235502) × cos(-0.58196775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.835382657101559 × 6371000     		du = 255.094143999482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58192771)-sin(-0.58196775))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835404665171628-0.835382657101559)×R²
    abs(0.36235502-0.36230709)×2.20080700686909e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20080700686909e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20080700686909e-05×40589641000000     		ar = 65074.0570305688m²