Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73092 / 76162
↖ ↑ ↗
← S 27.999252°
E 20.753174°		 ← 269.68 m → S 27.999252°
E 20.755920°		 →
↑
269.68 m
↓
↑
269.68 m
↓
S 28.001677°
E 20.753174°		 ← 269.67 m →
72 727 m²		 S 28.001677°
E 20.755920°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76162 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557651519775391 y=0.581073760986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557651519775391 × 217)
    floor (0.557651519775391 × 131072)
    floor (73092.5)     		tx = 73092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581073760986328 × 217)
    floor (0.581073760986328 × 131072)
    floor (76162.5)     		ty = 76162
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73092 / 76162 ti = "17/73092/76162"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73092/76162.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73092 ÷ 217
    73092 ÷ 131072     		x = 0.557647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76162 ÷ 217
    76162 ÷ 131072     		y = 0.581069946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557647705078125 × 2 - 1) × π
    0.11529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36221121
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581069946289062 × 2 - 1) × π
    -0.162139892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.509377495362717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36221121} λ = 0.36221121}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509377495362717))-π/2
    2×atan(0.60086950646852)-π/2
    2×0.541058598013499-π/2
    1.082117196027-1.57079632675     		φ = -0.48867913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36221121} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.753174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48867913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.999252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73092 KachelY 76162 0.36221121 -0.48867913 20.753174 -27.999252
    Oben rechts KachelX + 1 73093 KachelY 76162 0.36225915 -0.48867913 20.755920 -27.999252
    Unten links KachelX 73092 KachelY + 1 76163 0.36221121 -0.48872146 20.753174 -28.001677
    Unten rechts KachelX + 1 73093 KachelY + 1 76163 0.36225915 -0.48872146 20.755920 -28.001677
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48867913--0.48872146) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dl = 269.684429999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48867913--0.48872146) × R
    4.23299999999793e-05 × 6371000     		dr = 269.684429999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36221121-0.36225915) × cos(-0.48867913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88295372434439 × 6371000     		do = 269.676794643464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36221121-0.36225915) × cos(-0.48872146) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.882933851310234 × 6371000     		du = 269.670724907301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48867913)-sin(-0.48872146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88295372434439-0.882933851310234)×R²
    abs(0.36225915-0.36221121)×1.98730341555153e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.98730341555153e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.98730341555153e-05×40589641000000     		ar = 72726.8142018073m²