Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73091 / 76163
↖ ↑ ↗
← S 28.001677°
E 20.750427°		 ← 269.61 m → S 28.001677°
E 20.753174°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
S 28.004102°
E 20.750427°		 ← 269.61 m →
72 693 m²		 S 28.004102°
E 20.753174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76163 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557643890380859 y=0.581081390380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557643890380859 × 217)
    floor (0.557643890380859 × 131072)
    floor (73091.5)     		tx = 73091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581081390380859 × 217)
    floor (0.581081390380859 × 131072)
    floor (76163.5)     		ty = 76163
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73091 / 76163 ti = "17/73091/76163"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73091/76163.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73091 ÷ 217
    73091 ÷ 131072     		x = 0.557640075683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76163 ÷ 217
    76163 ÷ 131072     		y = 0.581077575683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557640075683594 × 2 - 1) × π
    0.115280151367188 × 3.1415926535     		Λ = 0.36216328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581077575683594 × 2 - 1) × π
    -0.162155151367188 × 3.1415926535     		Φ = -0.509425432262337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36216328} λ = 0.36216328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509425432262337))-π/2
    2×atan(0.600840703337675)-π/2
    2×0.541037435219617-π/2
    1.08207487043923-1.57079632675     		φ = -0.48872146
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36216328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.750427°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48872146 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.001677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73091 KachelY 76163 0.36216328 -0.48872146 20.750427 -28.001677
    Oben rechts KachelX + 1 73092 KachelY 76163 0.36221121 -0.48872146 20.753174 -28.001677
    Unten links KachelX 73091 KachelY + 1 76164 0.36216328 -0.48876378 20.750427 -28.004102
    Unten rechts KachelX + 1 73092 KachelY + 1 76164 0.36221121 -0.48876378 20.753174 -28.004102
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48872146--0.48876378) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48872146--0.48876378) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36216328-0.36221121) × cos(-0.48872146) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882933851310234 × 6371000     		do = 269.614473191976m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36216328-0.36221121) × cos(-0.48876378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88291398138936 × 6371000     		du = 269.608405672602m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48872146)-sin(-0.48876378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882933851310234-0.88291398138936)×R²
    abs(0.36221121-0.36216328)×1.98699208741049e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98699208741049e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98699208741049e-05×40589641000000     		ar = 72692.8304307779m²