Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7309 / 4906
↖ ↑ ↗
← N 58.332567°
W 19.401856°		 ← 1 282.69 m → N 58.332567°
W 19.379883°		 →
↑
1 282.93 m
↓
↑
1 282.93 m
↓
N 58.321030°
W 19.401856°		 ← 1 283.11 m →
1 645 870 m²		 N 58.321030°
W 19.379883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7309 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446136474609375 y=0.299468994140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446136474609375 × 214)
    floor (0.446136474609375 × 16384)
    floor (7309.5)     		tx = 7309
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.299468994140625 × 214)
    floor (0.299468994140625 × 16384)
    floor (4906.5)     		ty = 4906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7309 / 4906 ti = "14/7309/4906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7309/4906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7309 ÷ 214
    7309 ÷ 16384     		x = 0.44610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4906 ÷ 214
    4906 ÷ 16384     		y = 0.2994384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44610595703125 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.33862626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2994384765625 × 2 - 1) × π
    0.401123046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26016521721204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33862626} λ = -0.33862626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26016521721204))-π/2
    2×atan(3.52600399579366)-π/2
    2×1.29444584218464-π/2
    2.58889168436928-1.57079632675     		φ = 1.01809536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33862626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.401856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01809536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.332567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7309 KachelY 4906 -0.33862626 1.01809536 -19.401856 58.332567
    Oben rechts KachelX + 1 7310 KachelY 4906 -0.33824276 1.01809536 -19.379883 58.332567
    Unten links KachelX 7309 KachelY + 1 4907 -0.33862626 1.01789399 -19.401856 58.321030
    Unten rechts KachelX + 1 7310 KachelY + 1 4907 -0.33824276 1.01789399 -19.379883 58.321030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01809536-1.01789399) × R
    0.00020137000000009 × 6371000     		dl = 1282.92827000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01809536-1.01789399) × R
    0.00020137000000009 × 6371000     		dr = 1282.92827000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33862626--0.33824276) × cos(1.01809536) × R
    0.000383500000000037 × 0.524987959998437 × 6371000     		do = 1282.69179542316m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33862626--0.33824276) × cos(1.01789399) × R
    0.000383500000000037 × 0.525159337304055 × 6371000     		du = 1283.11051790937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01809536)-sin(1.01789399))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.524987959998437-0.525159337304055)×R²
    abs(-0.33824276--0.33862626)×0.000171377305618337×R²
    0.000383500000000037×0.000171377305618337×6371000²
    0.000383500000000037×0.000171377305618337×40589641000000     		ar = 1645870.16706526m²