Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73081 / 76169
↖ ↑ ↗
← S 28.016226°
E 20.722962°		 ← 269.58 m → S 28.016226°
E 20.725708°		 →
↑
269.62 m
↓
↑
269.62 m
↓
S 28.018651°
E 20.722962°		 ← 269.57 m →
72 683 m²		 S 28.018651°
E 20.725708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557567596435547 y=0.581127166748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557567596435547 × 217)
    floor (0.557567596435547 × 131072)
    floor (73081.5)     		tx = 73081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581127166748047 × 217)
    floor (0.581127166748047 × 131072)
    floor (76169.5)     		ty = 76169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73081 / 76169 ti = "17/73081/76169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73081/76169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73081 ÷ 217
    73081 ÷ 131072     		x = 0.557563781738281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76169 ÷ 217
    76169 ÷ 131072     		y = 0.581123352050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557563781738281 × 2 - 1) × π
    0.115127563476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36168391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581123352050781 × 2 - 1) × π
    -0.162246704101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.509713053660057
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36168391} λ = 0.36168391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.509713053660057))-π/2
    2×atan(0.600667913544986)-π/2
    2×0.540910468459361-π/2
    1.08182093691872-1.57079632675     		φ = -0.48897539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36168391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.722962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48897539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.016226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73081 KachelY 76169 0.36168391 -0.48897539 20.722962 -28.016226
    Oben rechts KachelX + 1 73082 KachelY 76169 0.36173184 -0.48897539 20.725708 -28.016226
    Unten links KachelX 73081 KachelY + 1 76170 0.36168391 -0.48901771 20.722962 -28.018651
    Unten rechts KachelX + 1 73082 KachelY + 1 76170 0.36173184 -0.48901771 20.725708 -28.018651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48897539--0.48901771) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dl = 269.620719999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48897539--0.48901771) × R
    4.23199999999846e-05 × 6371000     		dr = 269.620719999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36168391-0.36173184) × cos(-0.48897539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.882814603369234 × 6371000     		do = 269.578059398639m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36168391-0.36173184) × cos(-0.48901771) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.88279472396082 × 6371000     		du = 269.571988982131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48897539)-sin(-0.48901771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882814603369234-0.88279472396082)×R²
    abs(0.36173184-0.36168391)×1.98794084141918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.98794084141918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.98794084141918e-05×40589641000000     		ar = 72683.0121270549m²