Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7308 / 5500
↖ ↑ ↗
← N 75.855911°
W 99.711914°		 ← 298.51 m → N 75.855911°
W 99.700928°		 →
↑
298.55 m
↓
↑
298.55 m
↓
N 75.853226°
W 99.711914°		 ← 298.56 m →
89 126 m²		 N 75.853226°
W 99.700928°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.223037719726562 y=0.167861938476562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.223037719726562 × 215)
    floor (0.223037719726562 × 32768)
    floor (7308.5)     		tx = 7308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167861938476562 × 215)
    floor (0.167861938476562 × 32768)
    floor (5500.5)     		ty = 5500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7308 / 5500 ti = "15/7308/5500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7308/5500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7308 ÷ 215
    7308 ÷ 32768     		x = 0.2230224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5500 ÷ 215
    5500 ÷ 32768     		y = 0.1678466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2230224609375 × 2 - 1) × π
    -0.553955078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74030120
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1678466796875 × 2 - 1) × π
    0.664306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.08698086185876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74030120} λ = -1.74030120}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08698086185876))-π/2
    2×atan(8.06054249929858)-π/2
    2×1.44736586599245-π/2
    2.89473173198489-1.57079632675     		φ = 1.32393541
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74030120} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32393541 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.855911°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7308 KachelY 5500 -1.74030120 1.32393541 -99.711914 75.855911
    Oben rechts KachelX + 1 7309 KachelY 5500 -1.74010946 1.32393541 -99.700928 75.855911
    Unten links KachelX 7308 KachelY + 1 5501 -1.74030120 1.32388855 -99.711914 75.853226
    Unten rechts KachelX + 1 7309 KachelY + 1 5501 -1.74010946 1.32388855 -99.700928 75.853226
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32393541-1.32388855) × R
    4.68600000000929e-05 × 6371000     		dl = 298.545060000592m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32393541-1.32388855) × R
    4.68600000000929e-05 × 6371000     		dr = 298.545060000592m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74030120--1.74010946) × cos(1.32393541) × R
    0.000191739999999996 × 0.244361248600454 × 6371000     		do = 298.505724214167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74030120--1.74010946) × cos(1.32388855) × R
    0.000191739999999996 × 0.244406687736958 × 6371000     		du = 298.56123155188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32393541)-sin(1.32388855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244361248600454-0.244406687736958)×R²
    abs(-1.74010946--1.74030120)×4.54391365043438e-05×R²
    0.000191739999999996×4.54391365043438e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.54391365043438e-05×40589641000000     		ar = 89125.6950832919m²