Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73077 / 78365
↖ ↑ ↗
← S 33.204223°
E 20.711975°		 ← 255.56 m → S 33.204223°
E 20.714722°		 →
↑
255.48 m
↓
↑
255.48 m
↓
S 33.206520°
E 20.711975°		 ← 255.55 m →
65 288 m²		 S 33.206520°
E 20.714722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557537078857422 y=0.597881317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557537078857422 × 217)
    floor (0.557537078857422 × 131072)
    floor (73077.5)     		tx = 73077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597881317138672 × 217)
    floor (0.597881317138672 × 131072)
    floor (78365.5)     		ty = 78365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73077 / 78365 ti = "17/73077/78365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73077/78365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73077 ÷ 217
    73077 ÷ 131072     		x = 0.557533264160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78365 ÷ 217
    78365 ÷ 131072     		y = 0.597877502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557533264160156 × 2 - 1) × π
    0.115066528320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.36149216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597877502441406 × 2 - 1) × π
    -0.195755004882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.6149824852257
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36149216} λ = 0.36149216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.6149824852257))-π/2
    2×atan(0.540650364595501)-π/2
    2×0.495636660610753-π/2
    0.991273321221507-1.57079632675     		φ = -0.57952301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36149216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.711975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57952301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.204223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73077 KachelY 78365 0.36149216 -0.57952301 20.711975 -33.204223
    Oben rechts KachelX + 1 73078 KachelY 78365 0.36154010 -0.57952301 20.714722 -33.204223
    Unten links KachelX 73077 KachelY + 1 78366 0.36149216 -0.57956311 20.711975 -33.206520
    Unten rechts KachelX + 1 73078 KachelY + 1 78366 0.36154010 -0.57956311 20.714722 -33.206520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57952301--0.57956311) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dl = 255.477100000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57952301--0.57956311) × R
    4.01000000000984e-05 × 6371000     		dr = 255.477100000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36149216-0.36154010) × cos(-0.57952301) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.836723956687122 × 6371000     		do = 255.557033646724m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36149216-0.36154010) × cos(-0.57956311) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.836701996256302 × 6371000     		du = 255.550326365891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57952301)-sin(-0.57956311))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836723956687122-0.836701996256302)×R²
    abs(0.36154010-0.36149216)×2.19604308191457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.19604308191457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.19604308191457e-05×40589641000000     		ar = 65288.1130713836m²