Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73076 / 78378
↖ ↑ ↗
← S 33.234093°
E 20.709228°		 ← 255.47 m → S 33.234093°
E 20.711975°		 →
↑
255.41 m
↓
↑
255.41 m
↓
S 33.236390°
E 20.709228°		 ← 255.46 m →
65 250 m²		 S 33.236390°
E 20.711975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557529449462891 y=0.597980499267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557529449462891 × 217)
    floor (0.557529449462891 × 131072)
    floor (73076.5)     		tx = 73076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597980499267578 × 217)
    floor (0.597980499267578 × 131072)
    floor (78378.5)     		ty = 78378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73076 / 78378 ti = "17/73076/78378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73076/78378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73076 ÷ 217
    73076 ÷ 131072     		x = 0.557525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78378 ÷ 217
    78378 ÷ 131072     		y = 0.597976684570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557525634765625 × 2 - 1) × π
    0.11505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36144422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597976684570312 × 2 - 1) × π
    -0.195953369140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.615605664920761
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36144422} λ = 0.36144422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615605664920761))-π/2
    2×atan(0.540313547225931)-π/2
    2×0.495375990413541-π/2
    0.990751980827082-1.57079632675     		φ = -0.58004435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36144422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.709228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58004435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.234093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73076 KachelY 78378 0.36144422 -0.58004435 20.709228 -33.234093
    Oben rechts KachelX + 1 73077 KachelY 78378 0.36149216 -0.58004435 20.711975 -33.234093
    Unten links KachelX 73076 KachelY + 1 78379 0.36144422 -0.58008444 20.709228 -33.236390
    Unten rechts KachelX + 1 73077 KachelY + 1 78379 0.36149216 -0.58008444 20.711975 -33.236390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58004435--0.58008444) × R
    4.00900000000481e-05 × 6371000     		dl = 255.413390000307m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58004435--0.58008444) × R
    4.00900000000481e-05 × 6371000     		dr = 255.413390000307m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36144422-0.36149216) × cos(-0.58004435) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83643834423097 × 6371000     		do = 255.469800251247m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36144422-0.36149216) × cos(-0.58008444) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836416371791982 × 6371000     		du = 255.46308930281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58004435)-sin(-0.58008444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.83643834423097-0.836416371791982)×R²
    abs(0.36149216-0.36144422)×2.19724389872722e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19724389872722e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19724389872722e-05×40589641000000     		ar = 65249.5507004217m²