Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73076 / 76215
↖ ↑ ↗
← S 28.127705°
E 20.709228°		 ← 269.35 m → S 28.127705°
E 20.711975°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
S 28.130128°
E 20.709228°		 ← 269.35 m →
72 554 m²		 S 28.130128°
E 20.711975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557529449462891 y=0.581478118896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557529449462891 × 217)
    floor (0.557529449462891 × 131072)
    floor (73076.5)     		tx = 73076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581478118896484 × 217)
    floor (0.581478118896484 × 131072)
    floor (76215.5)     		ty = 76215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73076 / 76215 ti = "17/73076/76215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73076/76215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73076 ÷ 217
    73076 ÷ 131072     		x = 0.557525634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76215 ÷ 217
    76215 ÷ 131072     		y = 0.581474304199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557525634765625 × 2 - 1) × π
    0.11505126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.36144422
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581474304199219 × 2 - 1) × π
    -0.162948608398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.51191815104258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36144422} λ = 0.36144422}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.51191815104258))-π/2
    2×atan(0.599344841588431)-π/2
    2×0.539937626900809-π/2
    1.07987525380162-1.57079632675     		φ = -0.49092107
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36144422} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.709228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49092107 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.127705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73076 KachelY 76215 0.36144422 -0.49092107 20.709228 -28.127705
    Oben rechts KachelX + 1 73077 KachelY 76215 0.36149216 -0.49092107 20.711975 -28.127705
    Unten links KachelX 73076 KachelY + 1 76216 0.36144422 -0.49096335 20.709228 -28.130128
    Unten rechts KachelX + 1 73077 KachelY + 1 76216 0.36149216 -0.49096335 20.711975 -28.130128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49092107--0.49096335) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dl = 269.365880000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49092107--0.49096335) × R
    4.22800000000056e-05 × 6371000     		dr = 269.365880000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36144422-0.36149216) × cos(-0.49092107) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881899005012283 × 6371000     		do = 269.354656211275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36144422-0.36149216) × cos(-0.49096335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881879071809394 × 6371000     		du = 269.348568098033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49092107)-sin(-0.49096335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881899005012283-0.881879071809394)×R²
    abs(0.36149216-0.36144422)×1.99332028881782e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99332028881782e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99332028881782e-05×40589641000000     		ar = 72554.1340482196m²