Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73072 / 78383
↖ ↑ ↗
← S 33.245579°
E 20.698242°		 ← 255.38 m → S 33.245579°
E 20.700989°		 →
↑
255.41 m
↓
↑
255.41 m
↓
S 33.247876°
E 20.698242°		 ← 255.38 m →
65 227 m²		 S 33.247876°
E 20.700989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557498931884766 y=0.598018646240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557498931884766 × 217)
    floor (0.557498931884766 × 131072)
    floor (73072.5)     		tx = 73072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598018646240234 × 217)
    floor (0.598018646240234 × 131072)
    floor (78383.5)     		ty = 78383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73072 / 78383 ti = "17/73072/78383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73072/78383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73072 ÷ 217
    73072 ÷ 131072     		x = 0.5574951171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78383 ÷ 217
    78383 ÷ 131072     		y = 0.598014831542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    0.114990234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36125248
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598014831542969 × 2 - 1) × π
    -0.196029663085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.615845349418861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36125248} λ = 0.36125248}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615845349418861))-π/2
    2×atan(0.540184057963452)-π/2
    2×0.495275756345188-π/2
    0.990551512690376-1.57079632675     		φ = -0.58024481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36125248} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.698242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58024481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.245579°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73072 KachelY 78383 0.36125248 -0.58024481 20.698242 -33.245579
    Oben rechts KachelX + 1 73073 KachelY 78383 0.36130041 -0.58024481 20.700989 -33.245579
    Unten links KachelX 73072 KachelY + 1 78384 0.36125248 -0.58028490 20.698242 -33.247876
    Unten rechts KachelX + 1 73073 KachelY + 1 78384 0.36130041 -0.58028490 20.700989 -33.247876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58024481--0.58028490) × R
    4.00899999999371e-05 × 6371000     		dl = 255.413389999599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58024481--0.58028490) × R
    4.00899999999371e-05 × 6371000     		dr = 255.413389999599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36125248-0.36130041) × cos(-0.58024481) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836328463111148 × 6371000     		do = 255.382957242557m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36125248-0.36130041) × cos(-0.58028490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.836306483950703 × 6371000     		du = 255.376245641505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58024481)-sin(-0.58028490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836328463111148-0.836306483950703)×R²
    abs(0.36130041-0.36125248)×2.19791604451069e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.19791604451069e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.19791604451069e-05×40589641000000     		ar = 65227.3697498466m²