Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73071 / 78417
↖ ↑ ↗
← S 33.323644°
E 20.695496°		 ← 255.21 m → S 33.323644°
E 20.698242°		 →
↑
255.16 m
↓
↑
255.16 m
↓
S 33.325938°
E 20.695496°		 ← 255.20 m →
65 118 m²		 S 33.325938°
E 20.698242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557491302490234 y=0.598278045654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557491302490234 × 217)
    floor (0.557491302490234 × 131072)
    floor (73071.5)     		tx = 73071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598278045654297 × 217)
    floor (0.598278045654297 × 131072)
    floor (78417.5)     		ty = 78417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73071 / 78417 ti = "17/73071/78417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73071/78417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73071 ÷ 217
    73071 ÷ 131072     		x = 0.557487487792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78417 ÷ 217
    78417 ÷ 131072     		y = 0.598274230957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557487487792969 × 2 - 1) × π
    0.114974975585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.36120454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598274230957031 × 2 - 1) × π
    -0.196548461914062 × 3.1415926535     		Φ = -0.617475204005943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36120454} λ = 0.36120454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617475204005943))-π/2
    2×atan(0.539304353588556)-π/2
    2×0.494594514068554-π/2
    0.989189028137107-1.57079632675     		φ = -0.58160730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36120454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.695496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58160730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.323644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73071 KachelY 78417 0.36120454 -0.58160730 20.695496 -33.323644
    Oben rechts KachelX + 1 73072 KachelY 78417 0.36125248 -0.58160730 20.698242 -33.323644
    Unten links KachelX 73071 KachelY + 1 78418 0.36120454 -0.58164735 20.695496 -33.325938
    Unten rechts KachelX + 1 73072 KachelY + 1 78418 0.36125248 -0.58164735 20.698242 -33.325938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58160730--0.58164735) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dl = 255.158549999734m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58160730--0.58164735) × R
    4.00499999999582e-05 × 6371000     		dr = 255.158549999734m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36120454-0.36125248) × cos(-0.58160730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835580730956712 × 6371000     		do = 255.207863082027m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36120454-0.36125248) × cos(-0.58164735) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.835558728111208 × 6371000     		du = 255.201142846657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58160730)-sin(-0.58164735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835580730956712-0.835558728111208)×R²
    abs(0.36125248-0.36120454)×2.20028455043542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20028455043542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20028455043542e-05×40589641000000     		ar = 65117.6109385036m²