Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73070 / 78542
↖ ↑ ↗
← S 33.610045°
E 20.692749°		 ← 254.37 m → S 33.610045°
E 20.695496°		 →
↑
254.33 m
↓
↑
254.33 m
↓
S 33.612332°
E 20.692749°		 ← 254.36 m →
64 692 m²		 S 33.612332°
E 20.695496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557483673095703 y=0.599231719970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557483673095703 × 217)
    floor (0.557483673095703 × 131072)
    floor (73070.5)     		tx = 73070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599231719970703 × 217)
    floor (0.599231719970703 × 131072)
    floor (78542.5)     		ty = 78542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73070 / 78542 ti = "17/73070/78542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73070/78542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73070 ÷ 217
    73070 ÷ 131072     		x = 0.557479858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78542 ÷ 217
    78542 ÷ 131072     		y = 0.599227905273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557479858398438 × 2 - 1) × π
    0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599227905273438 × 2 - 1) × π
    -0.198455810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.62346731645845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36115660} λ = 0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62346731645845))-π/2
    2×atan(0.536082443918581)-π/2
    2×0.492095193628347-π/2
    0.984190387256695-1.57079632675     		φ = -0.58660594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58660594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.610045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73070 KachelY 78542 0.36115660 -0.58660594 20.692749 -33.610045
    Oben rechts KachelX + 1 73071 KachelY 78542 0.36120454 -0.58660594 20.695496 -33.610045
    Unten links KachelX 73070 KachelY + 1 78543 0.36115660 -0.58664586 20.692749 -33.612332
    Unten rechts KachelX + 1 73071 KachelY + 1 78543 0.36120454 -0.58664586 20.695496 -33.612332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58660594--0.58664586) × R
    3.99199999999711e-05 × 6371000     		dl = 254.330319999816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58660594--0.58664586) × R
    3.99199999999711e-05 × 6371000     		dr = 254.330319999816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36115660-0.36120454) × cos(-0.58660594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832824212102614 × 6371000     		do = 254.365951271485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36115660-0.36120454) × cos(-0.58664586) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832802114219577 × 6371000     		du = 254.359202009206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58660594)-sin(-0.58664586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832824212102614-0.832802114219577)×R²
    abs(0.36120454-0.36115660)×2.20978830369756e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20978830369756e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20978830369756e-05×40589641000000     		ar = 64692.1155213201m²