Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73070 / 76202
↖ ↑ ↗
← S 28.096212°
E 20.692749°		 ← 269.43 m → S 28.096212°
E 20.695496°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
S 28.098635°
E 20.692749°		 ← 269.43 m →
72 593 m²		 S 28.098635°
E 20.695496°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557483673095703 y=0.581378936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557483673095703 × 217)
    floor (0.557483673095703 × 131072)
    floor (73070.5)     		tx = 73070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581378936767578 × 217)
    floor (0.581378936767578 × 131072)
    floor (76202.5)     		ty = 76202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73070 / 76202 ti = "17/73070/76202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73070/76202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73070 ÷ 217
    73070 ÷ 131072     		x = 0.557479858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76202 ÷ 217
    76202 ÷ 131072     		y = 0.581375122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557479858398438 × 2 - 1) × π
    0.114959716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36115660
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581375122070312 × 2 - 1) × π
    -0.162750244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.511294971347519
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36115660} λ = 0.36115660}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511294971347519))-π/2
    2×atan(0.599718457526891)-π/2
    2×0.540212458032499-π/2
    1.080424916065-1.57079632675     		φ = -0.49037141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36115660} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.692749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49037141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.096212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73070 KachelY 76202 0.36115660 -0.49037141 20.692749 -28.096212
    Oben rechts KachelX + 1 73071 KachelY 76202 0.36120454 -0.49037141 20.695496 -28.096212
    Unten links KachelX 73070 KachelY + 1 76203 0.36115660 -0.49041370 20.692749 -28.098635
    Unten rechts KachelX + 1 73071 KachelY + 1 76203 0.36120454 -0.49041370 20.695496 -28.098635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49037141--0.49041370) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dl = 269.429590000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49037141--0.49041370) × R
    4.22900000000004e-05 × 6371000     		dr = 269.429590000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36115660-0.36120454) × cos(-0.49037141) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882158002596141 × 6371000     		do = 269.433760739984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36115660-0.36120454) × cos(-0.49041370) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.882138085181125 × 6371000     		du = 269.427677448763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49037141)-sin(-0.49041370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.882158002596141-0.882138085181125)×R²
    abs(0.36120454-0.36115660)×1.99174150163905e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.99174150163905e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.99174150163905e-05×40589641000000     		ar = 72592.6081898305m²