Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7307 / 3554
↖ ↑ ↗
← N 70.830248°
W 19.445801°		 ← 802.29 m → N 70.830248°
W 19.423828°		 →
↑
802.43 m
↓
↑
802.43 m
↓
N 70.823031°
W 19.445801°		 ← 802.59 m →
643 900 m²		 N 70.823031°
W 19.423828°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7307 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.446014404296875 y=0.216949462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.446014404296875 × 214)
    floor (0.446014404296875 × 16384)
    floor (7307.5)     		tx = 7307
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216949462890625 × 214)
    floor (0.216949462890625 × 16384)
    floor (3554.5)     		ty = 3554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7307 / 3554 ti = "14/7307/3554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7307/3554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7307 ÷ 214
    7307 ÷ 16384     		x = 0.44598388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3554 ÷ 214
    3554 ÷ 16384     		y = 0.2169189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    -0.1080322265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.33939325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2169189453125 × 2 - 1) × π
    0.566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77865072350256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33939325} λ = -0.33939325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77865072350256))-π/2
    2×atan(5.92186079805684)-π/2
    2×1.40350867890866-π/2
    2.80701735781732-1.57079632675     		φ = 1.23622103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33939325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.445801°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23622103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.830248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7307 KachelY 3554 -0.33939325 1.23622103 -19.445801 70.830248
    Oben rechts KachelX + 1 7308 KachelY 3554 -0.33900975 1.23622103 -19.423828 70.830248
    Unten links KachelX 7307 KachelY + 1 3555 -0.33939325 1.23609508 -19.445801 70.823031
    Unten rechts KachelX + 1 7308 KachelY + 1 3555 -0.33900975 1.23609508 -19.423828 70.823031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23622103-1.23609508) × R
    0.000125950000000152 × 6371000     		dl = 802.42745000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23622103-1.23609508) × R
    0.000125950000000152 × 6371000     		dr = 802.42745000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33939325--0.33900975) × cos(1.23622103) × R
    0.000383499999999981 × 0.328368046150018 × 6371000     		do = 802.294587245306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33939325--0.33900975) × cos(1.23609508) × R
    0.000383499999999981 × 0.328487009599269 × 6371000     		du = 802.585248083148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23622103)-sin(1.23609508))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328368046150018-0.328487009599269)×R²
    abs(-0.33900975--0.33939325)×0.000118963449251386×R²
    0.000383499999999981×0.000118963449251386×6371000²
    0.000383499999999981×0.000118963449251386×40589641000000     		ar = 643899.817762017m²