Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73067 / 76221
↖ ↑ ↗
← S 28.142238°
E 20.684509°		 ← 269.32 m → S 28.142238°
E 20.687256°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
S 28.144660°
E 20.684509°		 ← 269.31 m →
72 527 m²		 S 28.144660°
E 20.687256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557460784912109 y=0.581523895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557460784912109 × 217)
    floor (0.557460784912109 × 131072)
    floor (73067.5)     		tx = 73067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581523895263672 × 217)
    floor (0.581523895263672 × 131072)
    floor (76221.5)     		ty = 76221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73067 / 76221 ti = "17/73067/76221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73067/76221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73067 ÷ 217
    73067 ÷ 131072     		x = 0.557456970214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76221 ÷ 217
    76221 ÷ 131072     		y = 0.581520080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557456970214844 × 2 - 1) × π
    0.114913940429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.36101279
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581520080566406 × 2 - 1) × π
    -0.163040161132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.5122057724403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36101279} λ = 0.36101279}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.5122057724403))-π/2
    2×atan(0.599172481975722)-π/2
    2×0.539810808988318-π/2
    1.07962161797664-1.57079632675     		φ = -0.49117471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36101279} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.684509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49117471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.142238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73067 KachelY 76221 0.36101279 -0.49117471 20.684509 -28.142238
    Oben rechts KachelX + 1 73068 KachelY 76221 0.36106073 -0.49117471 20.687256 -28.142238
    Unten links KachelX 73067 KachelY + 1 76222 0.36101279 -0.49121698 20.684509 -28.144660
    Unten rechts KachelX + 1 73068 KachelY + 1 76222 0.36106073 -0.49121698 20.687256 -28.144660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49117471--0.49121698) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49117471--0.49121698) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36101279-0.36106073) × cos(-0.49117471) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881779401015464 × 6371000     		do = 269.31812607204m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36101279-0.36106073) × cos(-0.49121698) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.881759463072922 × 6371000     		du = 269.312036511185m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49117471)-sin(-0.49121698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881779401015464-0.881759463072922)×R²
    abs(0.36106073-0.36101279)×1.9937942542847e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.9937942542847e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.9937942542847e-05×40589641000000     		ar = 72527.135816357m²