Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73064 / 78536
↖ ↑ ↗
← S 33.596319°
E 20.676270°		 ← 254.41 m → S 33.596319°
E 20.679016°		 →
↑
254.39 m
↓
↑
254.39 m
↓
S 33.598607°
E 20.676270°		 ← 254.40 m →
64 719 m²		 S 33.598607°
E 20.679016°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557437896728516 y=0.599185943603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557437896728516 × 217)
    floor (0.557437896728516 × 131072)
    floor (73064.5)     		tx = 73064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599185943603516 × 217)
    floor (0.599185943603516 × 131072)
    floor (78536.5)     		ty = 78536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73064 / 78536 ti = "17/73064/78536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73064/78536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73064 ÷ 217
    73064 ÷ 131072     		x = 0.55743408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78536 ÷ 217
    78536 ÷ 131072     		y = 0.59918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55743408203125 × 2 - 1) × π
    0.1148681640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36086898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59918212890625 × 2 - 1) × π
    -0.1983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.62317969506073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36086898} λ = 0.36086898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.62317969506073))-π/2
    2×atan(0.536236654876517)-π/2
    2×0.492214972193883-π/2
    0.984429944387767-1.57079632675     		φ = -0.58636638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36086898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.676270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58636638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.596319°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73064 KachelY 78536 0.36086898 -0.58636638 20.676270 -33.596319
    Oben rechts KachelX + 1 73065 KachelY 78536 0.36091692 -0.58636638 20.679016 -33.596319
    Unten links KachelX 73064 KachelY + 1 78537 0.36086898 -0.58640631 20.676270 -33.598607
    Unten rechts KachelX + 1 73065 KachelY + 1 78537 0.36091692 -0.58640631 20.679016 -33.598607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58636638--0.58640631) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dl = 254.394030000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58636638--0.58640631) × R
    3.99300000000213e-05 × 6371000     		dr = 254.394030000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36086898-0.36091692) × cos(-0.58636638) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832956793662051 × 6371000     		do = 254.406445092093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36086898-0.36091692) × cos(-0.58640631) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832934698210324 × 6371000     		du = 254.399696572398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58636638)-sin(-0.58640631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832956793662051-0.832934698210324)×R²
    abs(0.36091692-0.36086898)×2.20954517277105e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20954517277105e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20954517277105e-05×40589641000000     		ar = 64718.6224419665m²