Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7306 / 3557
↖ ↑ ↗
← N 70.808590°
W 19.467773°		 ← 803.15 m → N 70.808590°
W 19.445801°		 →
↑
803.26 m
↓
↑
803.26 m
↓
N 70.801366°
W 19.467773°		 ← 803.44 m →
645 248 m²		 N 70.801366°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445953369140625 y=0.217132568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445953369140625 × 214)
    floor (0.445953369140625 × 16384)
    floor (7306.5)     		tx = 7306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217132568359375 × 214)
    floor (0.217132568359375 × 16384)
    floor (3557.5)     		ty = 3557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7306 / 3557 ti = "14/7306/3557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7306/3557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7306 ÷ 214
    7306 ÷ 16384     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3557 ÷ 214
    3557 ÷ 16384     		y = 0.21710205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21710205078125 × 2 - 1) × π
    0.5657958984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.77750023791168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77750023791168))-π/2
    2×atan(5.91505170017302)-π/2
    2×1.40331968489046-π/2
    2.80663936978092-1.57079632675     		φ = 1.23584304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23584304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.808590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7306 KachelY 3557 -0.33977674 1.23584304 -19.467773 70.808590
    Oben rechts KachelX + 1 7307 KachelY 3557 -0.33939325 1.23584304 -19.445801 70.808590
    Unten links KachelX 7306 KachelY + 1 3558 -0.33977674 1.23571696 -19.467773 70.801366
    Unten rechts KachelX + 1 7307 KachelY + 1 3558 -0.33939325 1.23571696 -19.445801 70.801366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23584304-1.23571696) × R
    0.000126080000000028 × 6371000     		dl = 803.255680000181m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23584304-1.23571696) × R
    0.000126080000000028 × 6371000     		dr = 803.255680000181m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33939325) × cos(1.23584304) × R
    0.000383490000000042 × 0.328725053082716 × 6371000     		do = 803.145911535315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33939325) × cos(1.23571696) × R
    0.000383490000000042 × 0.328844123657694 × 6371000     		du = 803.436826525155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23584304)-sin(1.23571696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328725053082716-0.328844123657694)×R²
    abs(-0.33939325--0.33977674)×0.000119070574978286×R²
    0.000383490000000042×0.000119070574978286×6371000²
    0.000383490000000042×0.000119070574978286×40589641000000     		ar = 645248.355724651m²