Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7306 / 3555
↖ ↑ ↗
← N 70.823031°
W 19.467773°		 ← 802.56 m → N 70.823031°
W 19.445801°		 →
↑
802.75 m
↓
↑
802.75 m
↓
N 70.815812°
W 19.467773°		 ← 802.86 m →
644 372 m²		 N 70.815812°
W 19.445801°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445953369140625 y=0.217010498046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445953369140625 × 214)
    floor (0.445953369140625 × 16384)
    floor (7306.5)     		tx = 7306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217010498046875 × 214)
    floor (0.217010498046875 × 16384)
    floor (3555.5)     		ty = 3555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7306 / 3555 ti = "14/7306/3555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7306/3555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7306 ÷ 214
    7306 ÷ 16384     		x = 0.4459228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3555 ÷ 214
    3555 ÷ 16384     		y = 0.21697998046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    -0.108154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.33977674
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21697998046875 × 2 - 1) × π
    0.5660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.7782672283056
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.33977674} λ = -0.33977674}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7782672283056))-π/2
    2×atan(5.91959022828784)-π/2
    2×1.40344570371967-π/2
    2.80689140743934-1.57079632675     		φ = 1.23609508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.33977674} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.467773°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23609508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.823031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7306 KachelY 3555 -0.33977674 1.23609508 -19.467773 70.823031
    Oben rechts KachelX + 1 7307 KachelY 3555 -0.33939325 1.23609508 -19.445801 70.823031
    Unten links KachelX 7306 KachelY + 1 3556 -0.33977674 1.23596908 -19.467773 70.815812
    Unten rechts KachelX + 1 7307 KachelY + 1 3556 -0.33939325 1.23596908 -19.445801 70.815812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23609508-1.23596908) × R
    0.000125999999999848 × 6371000     		dl = 802.745999999035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23609508-1.23596908) × R
    0.000125999999999848 × 6371000     		dr = 802.745999999035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.33977674--0.33939325) × cos(1.23609508) × R
    0.000383490000000042 × 0.328487009599269 × 6371000     		do = 802.564320175894m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.33977674--0.33939325) × cos(1.23596908) × R
    0.000383490000000042 × 0.328606015060954 × 6371000     		du = 802.855076079972m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23609508)-sin(1.23596908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328487009599269-0.328606015060954)×R²
    abs(-0.33939325--0.33977674)×0.000119005461684474×R²
    0.000383490000000042×0.000119005461684474×6371000²
    0.000383490000000042×0.000119005461684474×40589641000000     		ar = 644372.000185468m²