Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73054 / 78505
↖ ↑ ↗
← S 33.525368°
E 20.648804°		 ← 254.62 m → S 33.525368°
E 20.651550°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
S 33.527658°
E 20.648804°		 ← 254.61 m →
64 820 m²		 S 33.527658°
E 20.651550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557361602783203 y=0.598949432373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557361602783203 × 217)
    floor (0.557361602783203 × 131072)
    floor (73054.5)     		tx = 73054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598949432373047 × 217)
    floor (0.598949432373047 × 131072)
    floor (78505.5)     		ty = 78505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73054 / 78505 ti = "17/73054/78505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73054/78505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73054 ÷ 217
    73054 ÷ 131072     		x = 0.557357788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78505 ÷ 217
    78505 ÷ 131072     		y = 0.598945617675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557357788085938 × 2 - 1) × π
    0.114715576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36038961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598945617675781 × 2 - 1) × π
    -0.197891235351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.621693651172508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36038961} λ = 0.36038961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621693651172508))-π/2
    2×atan(0.537034118466328)-π/2
    2×0.492834131738732-π/2
    0.985668263477465-1.57079632675     		φ = -0.58512806
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36038961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.648804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58512806 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.525368°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73054 KachelY 78505 0.36038961 -0.58512806 20.648804 -33.525368
    Oben rechts KachelX + 1 73055 KachelY 78505 0.36043755 -0.58512806 20.651550 -33.525368
    Unten links KachelX 73054 KachelY + 1 78506 0.36038961 -0.58516802 20.648804 -33.527658
    Unten rechts KachelX + 1 73055 KachelY + 1 78506 0.36043755 -0.58516802 20.651550 -33.527658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58512806--0.58516802) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dl = 254.585160000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58512806--0.58516802) × R
    3.99600000000611e-05 × 6371000     		dr = 254.585160000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36038961-0.36043755) × cos(-0.58512806) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833641364398156 × 6371000     		do = 254.615530615749m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36038961-0.36043755) × cos(-0.58516802) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833619293579109 × 6371000     		du = 254.60878961951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58512806)-sin(-0.58516802))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833641364398156-0.833619293579109)×R²
    abs(0.36043755-0.36038961)×2.20708190472596e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20708190472596e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20708190472596e-05×40589641000000     		ar = 64820.4775301951m²