Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73053 / 78553
↖ ↑ ↗
← S 33.635203°
E 20.646057°		 ← 254.29 m → S 33.635203°
E 20.648804°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
S 33.637489°
E 20.646057°		 ← 254.28 m →
64 657 m²		 S 33.637489°
E 20.648804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557353973388672 y=0.599315643310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557353973388672 × 217)
    floor (0.557353973388672 × 131072)
    floor (73053.5)     		tx = 73053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599315643310547 × 217)
    floor (0.599315643310547 × 131072)
    floor (78553.5)     		ty = 78553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73053 / 78553 ti = "17/73053/78553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73053/78553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73053 ÷ 217
    73053 ÷ 131072     		x = 0.557350158691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78553 ÷ 217
    78553 ÷ 131072     		y = 0.599311828613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557350158691406 × 2 - 1) × π
    0.114700317382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.36034167
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599311828613281 × 2 - 1) × π
    -0.198623657226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.623994622354271
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36034167} λ = 0.36034167}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.623994622354271))-π/2
    2×atan(0.535799839001424)-π/2
    2×0.491875649119006-π/2
    0.983751298238012-1.57079632675     		φ = -0.58704503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36034167} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.646057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58704503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.635203°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73053 KachelY 78553 0.36034167 -0.58704503 20.646057 -33.635203
    Oben rechts KachelX + 1 73054 KachelY 78553 0.36038961 -0.58704503 20.648804 -33.635203
    Unten links KachelX 73053 KachelY + 1 78554 0.36034167 -0.58708494 20.646057 -33.637489
    Unten rechts KachelX + 1 73054 KachelY + 1 78554 0.36038961 -0.58708494 20.648804 -33.637489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58704503--0.58708494) × R
    3.99100000000319e-05 × 6371000     		dl = 254.266610000203m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58704503--0.58708494) × R
    3.99100000000319e-05 × 6371000     		dr = 254.266610000203m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36034167-0.36038961) × cos(-0.58704503) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832581079018382 × 6371000     		do = 254.291692169315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36034167-0.36038961) × cos(-0.58708494) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.832558972078897 × 6371000     		du = 254.284940140964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58704503)-sin(-0.58708494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832581079018382-0.832558972078897)×R²
    abs(0.36038961-0.36034167)×2.21069394849005e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21069394849005e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21069394849005e-05×40589641000000     		ar = 64657.0281199246m²