Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73051 / 78557
↖ ↑ ↗
← S 33.644349°
E 20.640564°		 ← 254.26 m → S 33.644349°
E 20.643311°		 →
↑
254.20 m
↓
↑
254.20 m
↓
S 33.646635°
E 20.640564°		 ← 254.26 m →
64 634 m²		 S 33.646635°
E 20.643311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557338714599609 y=0.599346160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557338714599609 × 217)
    floor (0.557338714599609 × 131072)
    floor (73051.5)     		tx = 73051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599346160888672 × 217)
    floor (0.599346160888672 × 131072)
    floor (78557.5)     		ty = 78557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73051 / 78557 ti = "17/73051/78557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73051/78557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73051 ÷ 217
    73051 ÷ 131072     		x = 0.557334899902344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78557 ÷ 217
    78557 ÷ 131072     		y = 0.599342346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557334899902344 × 2 - 1) × π
    0.114669799804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.36024580
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599342346191406 × 2 - 1) × π
    -0.198684692382812 × 3.1415926535     		Φ = -0.624186369952751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36024580} λ = 0.36024580}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624186369952751))-π/2
    2×atan(0.535697110518315)-π/2
    2×0.491795830646867-π/2
    0.983591661293733-1.57079632675     		φ = -0.58720467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36024580} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.640564°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58720467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.644349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73051 KachelY 78557 0.36024580 -0.58720467 20.640564 -33.644349
    Oben rechts KachelX + 1 73052 KachelY 78557 0.36029374 -0.58720467 20.643311 -33.644349
    Unten links KachelX 73051 KachelY + 1 78558 0.36024580 -0.58724457 20.640564 -33.646635
    Unten rechts KachelX + 1 73052 KachelY + 1 78558 0.36029374 -0.58724457 20.643311 -33.646635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58720467--0.58724457) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dl = 254.202899999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58720467--0.58724457) × R
    3.98999999999816e-05 × 6371000     		dr = 254.202899999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36024580-0.36029374) × cos(-0.58720467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832492643303943 × 6371000     		do = 254.264681625496m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36024580-0.36029374) × cos(-0.58724457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.832470536600936 × 6371000     		du = 254.257929669371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58720467)-sin(-0.58724457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832492643303943-0.832470536600936)×R²
    abs(0.36029374-0.36024580)×2.21067030071742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.21067030071742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.21067030071742e-05×40589641000000     		ar = 64633.961261887m²