Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73050 / 78511
↖ ↑ ↗
← S 33.539106°
E 20.637817°		 ← 254.58 m → S 33.539106°
E 20.640564°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
S 33.541395°
E 20.637817°		 ← 254.57 m →
64 794 m²		 S 33.541395°
E 20.640564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557331085205078 y=0.598995208740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557331085205078 × 217)
    floor (0.557331085205078 × 131072)
    floor (73050.5)     		tx = 73050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598995208740234 × 217)
    floor (0.598995208740234 × 131072)
    floor (78511.5)     		ty = 78511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73050 / 78511 ti = "17/73050/78511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73050/78511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73050 ÷ 217
    73050 ÷ 131072     		x = 0.557327270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78511 ÷ 217
    78511 ÷ 131072     		y = 0.598991394042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557327270507812 × 2 - 1) × π
    0.114654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36019786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598991394042969 × 2 - 1) × π
    -0.197982788085938 × 3.1415926535     		Φ = -0.621981272570229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36019786} λ = 0.36019786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621981272570229))-π/2
    2×atan(0.536879678173783)-π/2
    2×0.49271425471472-π/2
    0.98542850942944-1.57079632675     		φ = -0.58536782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36019786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.637817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58536782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.539106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73050 KachelY 78511 0.36019786 -0.58536782 20.637817 -33.539106
    Oben rechts KachelX + 1 73051 KachelY 78511 0.36024580 -0.58536782 20.640564 -33.539106
    Unten links KachelX 73050 KachelY + 1 78512 0.36019786 -0.58540777 20.637817 -33.541395
    Unten rechts KachelX + 1 73051 KachelY + 1 78512 0.36024580 -0.58540777 20.640564 -33.541395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58536782--0.58540777) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dl = 254.521450000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58536782--0.58540777) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dr = 254.521450000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36019786-0.36024580) × cos(-0.58536782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833508919517708 × 6371000     		do = 254.575078540424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36019786-0.36024580) × cos(-0.58540777) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833486846237835 × 6371000     		du = 254.568336792585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58536782)-sin(-0.58540777))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833508919517708-0.833486846237835)×R²
    abs(0.36024580-0.36019786)×2.2073279873247e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.2073279873247e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.2073279873247e-05×40589641000000     		ar = 64793.9601726975m²