Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73050 / 78510
↖ ↑ ↗
← S 33.536816°
E 20.637817°		 ← 254.58 m → S 33.536816°
E 20.640564°		 →
↑
254.59 m
↓
↑
254.59 m
↓
S 33.539106°
E 20.637817°		 ← 254.58 m →
64 812 m²		 S 33.539106°
E 20.640564°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557331085205078 y=0.598987579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557331085205078 × 217)
    floor (0.557331085205078 × 131072)
    floor (73050.5)     		tx = 73050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598987579345703 × 217)
    floor (0.598987579345703 × 131072)
    floor (78510.5)     		ty = 78510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73050 / 78510 ti = "17/73050/78510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73050/78510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73050 ÷ 217
    73050 ÷ 131072     		x = 0.557327270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78510 ÷ 217
    78510 ÷ 131072     		y = 0.598983764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557327270507812 × 2 - 1) × π
    0.114654541015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.36019786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598983764648438 × 2 - 1) × π
    -0.197967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.621933335670608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36019786} λ = 0.36019786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.621933335670608))-π/2
    2×atan(0.536905415137893)-π/2
    2×0.492734232896018-π/2
    0.985468465792035-1.57079632675     		φ = -0.58532786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36019786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.637817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58532786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.536816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73050 KachelY 78510 0.36019786 -0.58532786 20.637817 -33.536816
    Oben rechts KachelX + 1 73051 KachelY 78510 0.36024580 -0.58532786 20.640564 -33.536816
    Unten links KachelX 73050 KachelY + 1 78511 0.36019786 -0.58536782 20.637817 -33.539106
    Unten rechts KachelX + 1 73051 KachelY + 1 78511 0.36024580 -0.58536782 20.640564 -33.539106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58532786--0.58536782) × R
    3.995999999995e-05 × 6371000     		dl = 254.585159999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58532786--0.58536782) × R
    3.995999999995e-05 × 6371000     		dr = 254.585159999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36019786-0.36024580) × cos(-0.58532786) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833530996992026 × 6371000     		do = 254.581821569355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36019786-0.36024580) × cos(-0.58536782) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833508919517708 × 6371000     		du = 254.575078540424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58532786)-sin(-0.58536782))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833530996992026-0.833508919517708)×R²
    abs(0.36024580-0.36019786)×2.20774743178165e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20774743178165e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20774743178165e-05×40589641000000     		ar = 64811.8954483468m²