Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7305 / 4490
↖ ↑ ↗
← N 62.815019°
W 19.489746°		 ← 1 116.25 m → N 62.815019°
W 19.467773°		 →
↑
1 116.45 m
↓
↑
1 116.45 m
↓
N 62.804978°
W 19.489746°		 ← 1 116.63 m →
1 246 452 m²		 N 62.804978°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445892333984375 y=0.274078369140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445892333984375 × 214)
    floor (0.445892333984375 × 16384)
    floor (7305.5)     		tx = 7305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274078369140625 × 214)
    floor (0.274078369140625 × 16384)
    floor (4490.5)     		ty = 4490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7305 / 4490 ti = "14/7305/4490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7305/4490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7305 ÷ 214
    7305 ÷ 16384     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4490 ÷ 214
    4490 ÷ 16384     		y = 0.2740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2740478515625 × 2 - 1) × π
    0.451904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.41969921914758
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41969921914758))-π/2
    2×atan(4.13587626076089)-π/2
    2×1.3335626122177-π/2
    2.66712522443539-1.57079632675     		φ = 1.09632890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09632890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.815019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7305 KachelY 4490 -0.34016024 1.09632890 -19.489746 62.815019
    Oben rechts KachelX + 1 7306 KachelY 4490 -0.33977674 1.09632890 -19.467773 62.815019
    Unten links KachelX 7305 KachelY + 1 4491 -0.34016024 1.09615366 -19.489746 62.804978
    Unten rechts KachelX + 1 7306 KachelY + 1 4491 -0.33977674 1.09615366 -19.467773 62.804978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09632890-1.09615366) × R
    0.000175240000000132 × 6371000     		dl = 1116.45404000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09632890-1.09615366) × R
    0.000175240000000132 × 6371000     		dr = 1116.45404000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(1.09632890) × R
    0.000383499999999981 × 0.456864768867899 × 6371000     		do = 1116.24786718235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(1.09615366) × R
    0.000383499999999981 × 0.457020644169134 × 6371000     		du = 1116.62871395454m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09632890)-sin(1.09615366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.456864768867899-0.457020644169134)×R²
    abs(-0.33977674--0.34016024)×0.000155875301234898×R²
    0.000383499999999981×0.000155875301234898×6371000²
    0.000383499999999981×0.000155875301234898×40589641000000     		ar = 1246452.04310675m²