Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7305 / 3702
↖ ↑ ↗
← N 69.733334°
W 19.489746°		 ← 846.33 m → N 69.733334°
W 19.467773°		 →
↑
846.45 m
↓
↑
846.45 m
↓
N 69.725722°
W 19.489746°		 ← 846.63 m →
716 503 m²		 N 69.725722°
W 19.467773°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445892333984375 y=0.225982666015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445892333984375 × 214)
    floor (0.445892333984375 × 16384)
    floor (7305.5)     		tx = 7305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225982666015625 × 214)
    floor (0.225982666015625 × 16384)
    floor (3702.5)     		ty = 3702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7305 / 3702 ti = "14/7305/3702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7305/3702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7305 ÷ 214
    7305 ÷ 16384     		x = 0.44586181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3702 ÷ 214
    3702 ÷ 16384     		y = 0.2259521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    -0.1082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34016024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2259521484375 × 2 - 1) × π
    0.548095703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.72189343435242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34016024} λ = -0.34016024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72189343435242))-π/2
    2×atan(5.59511241916221)-π/2
    2×1.3939363051417-π/2
    2.7878726102834-1.57079632675     		φ = 1.21707628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34016024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.489746°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21707628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.733334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7305 KachelY 3702 -0.34016024 1.21707628 -19.489746 69.733334
    Oben rechts KachelX + 1 7306 KachelY 3702 -0.33977674 1.21707628 -19.467773 69.733334
    Unten links KachelX 7305 KachelY + 1 3703 -0.34016024 1.21694342 -19.489746 69.725722
    Unten rechts KachelX + 1 7306 KachelY + 1 3703 -0.33977674 1.21694342 -19.467773 69.725722
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21707628-1.21694342) × R
    0.000132859999999901 × 6371000     		dl = 846.451059999372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21707628-1.21694342) × R
    0.000132859999999901 × 6371000     		dr = 846.451059999372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(1.21707628) × R
    0.000383499999999981 × 0.346389937209692 × 6371000     		do = 846.32708620075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34016024--0.33977674) × cos(1.21694342) × R
    0.000383499999999981 × 0.346514568871904 × 6371000     		du = 846.631596061451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21707628)-sin(1.21694342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346389937209692-0.346514568871904)×R²
    abs(-0.33977674--0.34016024)×0.000124631662211827×R²
    0.000383499999999981×0.000124631662211827×6371000²
    0.000383499999999981×0.000124631662211827×40589641000000     		ar = 716503.336621616m²