Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73049 / 78555
↖ ↑ ↗
← S 33.639776°
E 20.635071°		 ← 254.23 m → S 33.639776°
E 20.637817°		 →
↑
254.27 m
↓
↑
254.27 m
↓
S 33.642063°
E 20.635071°		 ← 254.22 m →
64 640 m²		 S 33.642063°
E 20.637817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557323455810547 y=0.599330902099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557323455810547 × 217)
    floor (0.557323455810547 × 131072)
    floor (73049.5)     		tx = 73049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599330902099609 × 217)
    floor (0.599330902099609 × 131072)
    floor (78555.5)     		ty = 78555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73049 / 78555 ti = "17/73049/78555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73049/78555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73049 ÷ 217
    73049 ÷ 131072     		x = 0.557319641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78555 ÷ 217
    78555 ÷ 131072     		y = 0.599327087402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557319641113281 × 2 - 1) × π
    0.114639282226562 × 3.1415926535     		Λ = 0.36014993
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599327087402344 × 2 - 1) × π
    -0.198654174804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.624090496153511
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36014993} λ = 0.36014993}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.624090496153511))-π/2
    2×atan(0.535748472297627)-π/2
    2×0.491835738823123-π/2
    0.983671477646246-1.57079632675     		φ = -0.58712485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36014993} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.635071°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58712485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.639776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73049 KachelY 78555 0.36014993 -0.58712485 20.635071 -33.639776
    Oben rechts KachelX + 1 73050 KachelY 78555 0.36019786 -0.58712485 20.637817 -33.639776
    Unten links KachelX 73049 KachelY + 1 78556 0.36014993 -0.58716476 20.635071 -33.642063
    Unten rechts KachelX + 1 73050 KachelY + 1 78556 0.36019786 -0.58716476 20.637817 -33.642063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58712485--0.58716476) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dl = 254.266609999496m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58712485--0.58716476) × R
    3.99099999999208e-05 × 6371000     		dr = 254.266609999496m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36014993-0.36019786) × cos(-0.58712485) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.832536863813305 × 6371000     		do = 254.225146783726m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36014993-0.36019786) × cos(-0.58716476) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.832514754221642 × 6371000     		du = 254.218395353933m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58712485)-sin(-0.58716476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.832536863813305-0.832514754221642)×R²
    abs(0.36019786-0.36014993)×2.21095916629332e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.21095916629332e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.21095916629332e-05×40589641000000     		ar = 64640.1079262466m²