Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73048 / 78520
↖ ↑ ↗
← S 33.559707°
E 20.632324°		 ← 254.51 m → S 33.559707°
E 20.635071°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
S 33.561995°
E 20.632324°		 ← 254.51 m →
64 762 m²		 S 33.561995°
E 20.635071°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557315826416016 y=0.599063873291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557315826416016 × 217)
    floor (0.557315826416016 × 131072)
    floor (73048.5)     		tx = 73048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599063873291016 × 217)
    floor (0.599063873291016 × 131072)
    floor (78520.5)     		ty = 78520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73048 / 78520 ti = "17/73048/78520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73048/78520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73048 ÷ 217
    73048 ÷ 131072     		x = 0.55731201171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78520 ÷ 217
    78520 ÷ 131072     		y = 0.59906005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55731201171875 × 2 - 1) × π
    0.1146240234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36010199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59906005859375 × 2 - 1) × π
    -0.1981201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.622412704666809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36010199} λ = 0.36010199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622412704666809))-π/2
    2×atan(0.53664810100712)-π/2
    2×0.492534474895751-π/2
    0.985068949791501-1.57079632675     		φ = -0.58572738
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36010199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.632324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58572738 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.559707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73048 KachelY 78520 0.36010199 -0.58572738 20.632324 -33.559707
    Oben rechts KachelX + 1 73049 KachelY 78520 0.36014993 -0.58572738 20.635071 -33.559707
    Unten links KachelX 73048 KachelY + 1 78521 0.36010199 -0.58576732 20.632324 -33.561995
    Unten rechts KachelX + 1 73049 KachelY + 1 78521 0.36014993 -0.58576732 20.635071 -33.561995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58572738--0.58576732) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dl = 254.457739999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58572738--0.58576732) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dr = 254.457739999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36010199-0.36014993) × cos(-0.58572738) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833310206584857 × 6371000     		do = 254.514386495861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36010199-0.36014993) × cos(-0.58576732) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833288126862085 × 6371000     		du = 254.507642780194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58572738)-sin(-0.58576732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833310206584857-0.833288126862085)×R²
    abs(0.36014993-0.36010199)×2.20797227719061e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20797227719061e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20797227719061e-05×40589641000000     		ar = 64762.297598647m²