Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73046 / 95558
↖ ↑ ↗
← S 63.320083°
E 20.626831°		 ← 137.11 m → S 63.320083°
E 20.629577°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
S 63.321317°
E 20.626831°		 ← 137.10 m →
18 807 m²		 S 63.321317°
E 20.629577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557300567626953 y=0.729053497314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557300567626953 × 217)
    floor (0.557300567626953 × 131072)
    floor (73046.5)     		tx = 73046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729053497314453 × 217)
    floor (0.729053497314453 × 131072)
    floor (95558.5)     		ty = 95558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73046 / 95558 ti = "17/73046/95558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73046/95558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73046 ÷ 217
    73046 ÷ 131072     		x = 0.557296752929688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95558 ÷ 217
    95558 ÷ 131072     		y = 0.729049682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557296752929688 × 2 - 1) × π
    0.114593505859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.36000612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729049682617188 × 2 - 1) × π
    -0.458099365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.43916160039333
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36000612} λ = 0.36000612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43916160039333))-π/2
    2×atan(0.237126482114995)-π/2
    2×0.232826196871939-π/2
    0.465652393743877-1.57079632675     		φ = -1.10514393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36000612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.626831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10514393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.320083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73046 KachelY 95558 0.36000612 -1.10514393 20.626831 -63.320083
    Oben rechts KachelX + 1 73047 KachelY 95558 0.36005405 -1.10514393 20.629577 -63.320083
    Unten links KachelX 73046 KachelY + 1 95559 0.36000612 -1.10516546 20.626831 -63.321317
    Unten rechts KachelX + 1 73047 KachelY + 1 95559 0.36005405 -1.10516546 20.629577 -63.321317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10514393--1.10516546) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10514393--1.10516546) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36000612-0.36005405) × cos(-1.10514393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.449005832299674 × 6371000     		do = 137.109332432952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36000612-0.36005405) × cos(-1.10516546) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448986594519989 × 6371000     		du = 137.103457945495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10514393)-sin(-1.10516546))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449005832299674-0.448986594519989)×R²
    abs(0.36005405-0.36000612)×1.92377796845444e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92377796845444e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92377796845444e-05×40589641000000     		ar = 18806.5592865744m²