Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73045 / 76281
↖ ↑ ↗
← S 28.287452°
E 20.624085°		 ← 268.95 m → S 28.287452°
E 20.626831°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
S 28.289870°
E 20.624085°		 ← 268.95 m →
72 326 m²		 S 28.289870°
E 20.626831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.557292938232422 y=0.581981658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.557292938232422 × 217)
    floor (0.557292938232422 × 131072)
    floor (73045.5)     		tx = 73045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581981658935547 × 217)
    floor (0.581981658935547 × 131072)
    floor (76281.5)     		ty = 76281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73045 / 76281 ti = "17/73045/76281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73045/76281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73045 ÷ 217
    73045 ÷ 131072     		x = 0.557289123535156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76281 ÷ 217
    76281 ÷ 131072     		y = 0.581977844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.557289123535156 × 2 - 1) × π
    0.114578247070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.35995818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581977844238281 × 2 - 1) × π
    -0.163955688476562 × 3.1415926535     		Φ = -0.515081986417503
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35995818} λ = 0.35995818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515081986417503))-π/2
    2×atan(0.597451609693105)-π/2
    2×0.538543576985005-π/2
    1.07708715397001-1.57079632675     		φ = -0.49370917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35995818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.624085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49370917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.287452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73045 KachelY 76281 0.35995818 -0.49370917 20.624085 -28.287452
    Oben rechts KachelX + 1 73046 KachelY 76281 0.36000612 -0.49370917 20.626831 -28.287452
    Unten links KachelX 73045 KachelY + 1 76282 0.35995818 -0.49375138 20.624085 -28.289870
    Unten rechts KachelX + 1 73046 KachelY + 1 76282 0.36000612 -0.49375138 20.626831 -28.289870
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49370917--0.49375138) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dl = 268.919910000271m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49370917--0.49375138) × R
    4.22100000000425e-05 × 6371000     		dr = 268.919910000271m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35995818-0.36000612) × cos(-0.49370917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.88058116165198 × 6371000     		do = 268.952152927439m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35995818-0.36000612) × cos(-0.49375138) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880561157744136 × 6371000     		du = 268.946043219083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49370917)-sin(-0.49375138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88058116165198-0.880561157744136)×R²
    abs(0.36000612-0.35995818)×2.00039078440684e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00039078440684e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00039078440684e-05×40589641000000     		ar = 72325.7672592405m²